Théorème de Borel-Lebesgue

Principe des probabilités composées Événements indépendants 33 33 35 40 41 42 42 44 44 III i i i i i i “doc” — 2006/8/9 — 11:52 — page IV — #2 i 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Bernard Bolzano, 1781-1848. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 ´ Emile Borel, 1871-1956. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

amplitudes, 1821) qui découvrirent 16 la fameuse loi de Laplace-Gauss, aussi appelée loi normale. Il fallut tout un siècle pour généraliser les lois des grands nombres, et pour cela le développement des théories de l’intégrale (Riemann en 1867, Lebesgue en 1901, pour les plus connues). La théorie des probabilités prit sa forme achevée en 1933 (Kolmogorov, pour un fondement analytique, mais von Mises avait proposé un fondement statistique en 1919). Elle continue de se développer, mais dès cette époque

condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? 21 [002992] [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a˙ est équipotent à H. 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

2. A quelle condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a est équipotent à H. ˙ 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

fronti`re) e e e Bn , Bλ Probabilit´ d’effectuer au moins n r´flexions e e (de se d´placer ` distance moyenne sup´rieure ` λ) sur la fronti`re e a e a e (conditionn´e par la probabilit´ d’arriver sur la fronti`re) e e e B σ-alg`bre de Borel e Br (x) Sph`re de rayon r centr´e au x (dans Rd ou Zd ) e e d−1 Br Disque de rayon r centr´e ` l’origine (dans Rd ou Zd ) e a C, Cα , Cj Capacit´s e Cplat Capacit´ d’un condensateur plat e pastel-00000853, version 1 - 23 Jul 2010

translation, signifie passer d’un monde où les choses appartiennent à un type russellien donné, à un monde d’éléments d’un type supérieur. Cela comporte un ordre d’idées supérieur au sens métamathématique. Là où il faut appliquer les théories de Lebesgue sur la mesure, on doit recourir à des procédures justifiables seulement de par l’axiome de Zermelo. Le passage p.113 de la physique newtonienne à la mécanique statistique, c’est le passage à un système logique supérieur

graphic poetry which, for all the horrors of living, states its confidence in Christian salvation. Such is also the thrust of the several collections of Antoine Favre (1557–1624) and of Jean de la Ceppède (c.1548–1623), whose devotional sonnets (Les Théorèmes, 1613–21) reflect Counter-Reformation themes. By the time they appeared, such vivid, violent poetry, vibrant with extravagant conceits and lurid metaphor, had been challenged by the pre-classical taste for simplicity. Prose By 1550 the case for