Théorème de Cauchy-Hadamard

et tout entier naturel n, |xn cosn t| |x|n . Comme la série numérique de terme général |x|n , n ∈ N, converge, la série de fonctions de terme général t → xn cosnt est normalement et donc uniformément convergente sur le segment 0, π2 . D’après le théorème d’intégration terme à terme sur un segment, +∞ +∞ ∑ Wn xn = ∑ xn n=0 = n=0 1 π/2 0 1 2 0 1 − x 1−u2 1+u 1 =2 0 π/2 cosn t dt = 0 +∞ ∑ xn cosn t π/2 dt = 0 n=0 1 dt 1 − x cost 2du

´ Universite Rennes II L2 MASS — Analyse Feuille de TD 6 Exercice 1 Pour chacune des s´ries enti`res suivantes, d´terminer le rayon de convergence R et e e e le comportement de la s´rie au bord de l’intervalle de convergence, i.e., en x = ±R. e (a) (e) sinh n n n≥0 cosh n x xn n≥2 n ln n (b) (f ) n≥2 (−1)n xn ln n xn n≥1 1+ 1 +···+ 1 2 n (c) (g) (−1)n n n≥1 1×3×5×···×(2n−1) x x2n n≥0 2n (d) (h) xn n≥0 cosh n n! n≥0 x . Exercice 2 1. D´terminer les rayons des s´ries

Cayley-Hamilton. e e Il en d´coule que exp(tB) = I2 + tB = (1 − 2t)I2 + tA puique B 2 = 0 de sorte que e +∞ tn B n n=2 n! = 0. Il en r´sulte que exp(tA) = e2t (1 − 2t)I2 + tA e 2. Par r´sultat de cours, la solution du probl`me de Cauchy du syst`me diff´rentiel lin´aire ` coefficients constants e e e e e a propos´ est X(t) = exp(tA)X0 . e 1 − 3t 2 + 3t On obtient ainsi X(t) = e2t Probl`me : s´ries de Taylor et d´veloppements en s´rie enti`re. e e e e e +∞ 1 =

CCP PSI 1 un corrig´ e 1 1.1 Une ´tude de s´ries. e e Etude de la fonction L. k 1.1 (−1)k−1 x est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle si |x| < 1 et non born´e sinon e e e k (croissances compar´es). Par lemme d’Abel, le rayon de convergence de la s´rie enti`re est ´gal e e e e a ` 1. L est donc d´finie au pire sur ] − 1, 1[ et au mieux sur [−1, 1]. Pour x = 1, il y a convergence e de la s´rie (s´ries de Riemann altern´e ou r`gle sp´ciale, le terme g´n´ral ´tant d´croissant en e e

sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins pour z = 0 ; sa somme est alors a0 . an z n . On appelle 1.2 Lemme d’Abel Lemme d’Abel — Théorème 1.1 Soit n n an z une série entière et z0 un complexe non nul tel que la suite (an z0 ) soit bornée. n z 1. Pour tout complexe z : an z n = O . z0 2. Pour tout complexe z tel que |z| < |z0 |, la série numérique an z n est absolument convergente

d t k n dt ψα,β k=0 n−1 k+1 n k n Aα,β k=0 n−1 dt 2 Aα,β k=0 1 2 k+1 k − n n = Aα,β 2n nβ−1 xn est 1. Le n 0 c) Rappelons que le rayon de convergence des deux s´ries enti`res e e n 0 nα−1 xn et produit de Cauchy de ces deux s´ries a pour rayon de convergence au moins 1. Donc pour x ∈ [0, 1[, e on a : +∞ +∞ Sα (x)Sβ (x) = n=0 +∞ nα−1 xn n=0 n nβ−1 xn xn = n=0 k=0 k α−1 (n − k)β−1 Remarquons que n k=0 k α−1 (n − k)β−1 = 0 pour

Concours CCP 2004 Epreuve sp´cifique - Fili`re PC e e MATHEMATIQUES 2 Dur´e : 4 heures e Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance ` la clart´, a e a ` la pr´cision et ` la concision de la r´daction. e a e Si un candidat est amen´ ` rep´rer ce qui peut lui sembler ˆtre une erreur d’´nonc´, ea e e e e il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´t´ amen´ ` prendre. ee ea

SESSION 2001 PS1004 CONCOURS COMMUNS POLYlECHWIOUES ÉPREUVE SPECIFIEE - FILIÈRE psi MATHÉMATIQUES DUR& : 4 heures 1 Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire no 99-186 du 1611.99 - BOEN no42 du 2511.99. Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants l’un de l’autre. PROBLÈME 1 Etant donné une série convergente cuk (x), on note R, (x) = zuk (x) son reste d’ordre n, pour k20

Licence MASS Seconde Ann´e. e U.F.R. 27 Universit´ de Paris 1. e 2007-2008 Partiel d’analyse S4, juin 2008, Dur´e : 3h e L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit. Cet ´nonc´ comporte 3 pages de texte. e e Lorsqu’une question exige un raisonnement, la pr´cision de celui-ci aura une e part importante dans l’´valuation. e Exercice 1. (10 points) L’objet de cet exercice est l’´tude de l’´quation diff´rentielle suivante: e e e Eλ : xy + (1 − x)y − λy = 0. o` la fonction y est une

R OYAUME DU M AROC ´ Minist` re de l’Education Nationale e et de la Jeunesse Minist` re de l’Enseignement e Sup´ rieur, de la Formation des Cadres e et de la Recherche Scientifique Concours National Commun d’Admission aux ´ Grandes Ecoles d’Ing´ nieurs e Session 2004 ´ ´ E PREUVE DE M ATH E MATIQUES I Dur´ e 4 heures e Concours MP Cette epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde ´ L’usage de la calculatrice est interdit Concours National Commun – Session