Théorème de Cauchy-Lipschitz

MINES ParisTech MATHÉMATIQUES 1 (1121) Francis Maisonneuve RÉSUMÉ n 4 Pb. de Cauchy : existence et unicité de la solution Systèmes différentiels : réduction à la forme normale Illustrons sur un exemple le cheminement qui, partant d’un système différentiel quelconque, conduit à un système du premier ordre, si possible de forme normale, ce qui permet de restreindre l’étude à ce seul cas (cf. définitions 3.1.1, 3.1.4, 3.1.5 et proposition 3.1.3). Un n-système différentiel d’ordre p est constitué de n

Montrer que y est une fonction impaire. c) Etudier la monotonie et la concavité de y. d) Montrer que y est définie sur un intervalle borné de R. e) Dresser le tableau de variation de y. Exercice 2 [ 00431 ] [correction] a) Montrer que le problème de Cauchy  1 y = 1 + xy  y(0) = 0 y = x + y2 E : y = x + y2 a) Quel est le lieu des points où les solutions de (E) présentent une tangente horizontale ? b) Décrire le lieu des points d’inflexion ? Exercice 6 X MP [ 02979 ] [correction]

Rp dans Rp , y0 un élément de Rp ; on cherche une fonction y ∈ C1 ([t0 , t0 + T ]; Rp ) qui vérifie ∀t ∈ [t0 , t0 + T ], y (t) = f(t, y(t)) y(t0 ) = y0 . (3.1) (3.2) Ce problème est le problème de Cauchy pour l’équation différentielle (3.1) et la condition (3.2) est une condition de Cauchy. Souvent t représente le temps ; t0 est alors appelé instant initial et y0 condition initiale. La donnée de f est équivalente à la donnée de p fonctions f1 , f2 , . . . , fp continues de [t0 , t0 + T ] ×

gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. EQUATIONS DIFFERENTIELLES (DEUXIEME ANNEE) PLAN I : Généralités 1) Equation différentielle du premier ordre 2) Solution maximale 3) Théorème de Cauchy–Lipschitz 4) Exemples II : Systèmes d'équations linéaires 1) Définition 2) Structure des solutions de l'équation homogène 3) Cas des matrices diagonales ou triangulaires 4) Méthode de variation des constantes 5) Systèmes non linéaires III : Equations

du système est une fonction x de R+ dans Rn ; x est donnée par une équation différentielle ordinaire (EDO) de la forme :  x' (t ) = f (t , x(t ), u (t )) sur ] 0 , + ∞[ ( I )  x(t 0 ) = x0 On supposera que f vérifie les conditions de Cauchy-Lipschitz (théorème ci-dessous) de sorte que l’EDO (I) admette une solution unique notée x[u,x0](.) Un problème de contrôle consiste en : - Une classe de contrôles admissibles Uad⊆Up - Une EDO de type (I) décrivant l’état du système - Une famille d’ensembles

interdits. Il est inutile de recopier les énoncés. Toutes réponse doit être justifiée. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction dans la correction. Question de cours (6 points) 1. Enoncer le théorème de Bolzano-Weierstrass. 2. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires 3. Enoncer le théorème des accroissements finis Correction de la question de cours 1. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente. 2. Soit un intervalle de . Pour tout , avec , pour tout entre

valeur 1 en 0. y doit être définie sur un intervalle I contenant 0 , le plus grand possible. Propriété 1: S'il existe une fonction f dérivable sur ¡ telle que f ' = f et f(0) = 1 , alors f ne s'annule pas sur ¡ . Indication : poser h(x) = f(x) ´ f(-x) Théorème 1: Il existe une et une seule fonction f dérivable sur ¡ telle que f ' = f et f(0)=1 II ] La fonction exponentielle 1. Définition 2 : On appelle fonction exponentielle , l'unique fonction f dérivable sur ¡ , telle que f ' = f et f(0)=1.

© 2008 - Gérard Lavau - http://pagesperso-orange.fr/lavau/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur. Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet, vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon

TD d’Économie – Julien Grenet École Normale Supérieure Année 2007-2008 Vade mecum : Equations différentielles du premier ordre Cette annexe aux TD sur le modèle de Solow présente la méthode de résolution des équations linéaires du premier ordre et définit la notion d’état stationnaire. 1 1.1 Définitions Equations différentielles du premier ordre Une équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t)

Pour le Vendredi 22/10/10 PCSI 3 – 10/11 MATHEMATIQUES – DEVOIR MAISON N°2 LES TROIS EXERCICES SERONT REDIGES SUR DES COPIES DOUBLES SEPAREES. SOIGNEZ LA REDACTION, VOS JUSTIFICATIONS ET LA PRESENTATION. NUMEROTEZ VOS COPIES, METTEZ VOTRE NOM SUR TOUTES VOS COPIES ET A ENCADRER VOS RESULTATS ETC… TOUS VOS CALCULS DOIVENT FIGURER SUR VOTRE COPIE. ILS DOIVENT ETRE INTRODUITS ET ETRE JUSTIFIES. Les copies ne respectant pas les consignes ne seront pas corrigées !!! Exercice 1 : Etude d’une