Théorème de Cayley-Hamilton

[pic] Exemple [pic] [pic] PROPRIETE (Théorème de Cayley-Hamilton appliqué au cas 2[pic]) O est la « matrice nulle » : [pic]I est la « matrice identité »: [pic] Pour la matrice [pic]on a toujours: [pic] « On remplace [pic]par la matrice A dans le polynôme caractéristique de A » Conséquence [pic] Exercice 1) Vérifier [pic] 2) Ecrire un algorithme qui calcule la puissance n d'une matrice en utilisant la conséquence du théorème de Cayley-Hamilton. Valeurs propres et vecteurs propres

Définition : Si , , , … , ( avec ) Définition : Si . Définition : est dite nilpotente si \ b. Polynôme d’endomorphisme Soit , soit donc . Proposition : , est une -algèbre Exemple : c. Propriété algébrique de polynôme d’endomorphisme Théorème : Si , Est un morphisme de groupe de -algèbre. , et Définition : est une sous algèbre de d. Polynôme endomorphisme et SEV stable Proposition : , , stable par et stable par f Conséquence : stable par . , , . Proposition : Si , si et

indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier, on dispose des notions de pgcd, ppcm et du théorème de Bézout qui nous dit que, pour r ≥ 2, les polynôme P1 , · · · , Pr sont premiers entre eux dans leur ensemble si, et seulement si, il existe des polynômes U1 , · · · , Ur tels que r ∑ k=1 Uk Pk = 1. Dans ce qui suit, u est un endomorphisme

courbes planes  L’ordre sur IR et ses propriétés : Borne supérieure et borne inférieure. Les suites réelles, critères de convergence. Théorème de Bolzano-Weiestrass. Limites d’une fonction numérique à variable réelle. Notion de continuité. Théorème des valeurs intermédiaires. Image d’un segment par une fonction continue. Dérivabilité. Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis. Applications : Fonctions trigonométriques, fonctions hyperboliques et fonctions réciproques. Formule de Taylor

sans que ses valeurs propres ne soient distinctes). Application de la diagonalisation au calcul de la puissance nième d’une matrice : A étant une matrice carrée diagonalisable : Nous savons que : Théorème de Cayley Hamilton : Il s’agît d’un des théorèmes les plus importants de l’Algèbre linéaire : A étant une matrice carrée ; Reprenons l’exemple 2 : On peut vérifier que A satisfait l’équation :

série entière ? ?? ? ? pour qu’il existe ? ∈ ℝ[?] ?⩾0 tel que ∀? ∈ ℳ? (ℝ), 2014-02-15 17:39:12 ?(?) = ? (?) Page 1/3 III Deux applications III.A – Première application : une formule de trigonométrie matricielle III.A.1) Rappeler l’énoncé du théorème permettant de faire le produit de deux séries de nombres complexes. On admet dans la suite de la partie III que le résultat valable pour les séries de nombres complexes est encore valable pour des séries de matrices dans ℳ? (ℂ). III.A.2) Pour (?

conditions, si on note uk la restriction de u à Ek , alors Ak est la matrice n Théorème 1 : Théorème de décomposition des noyaux Si P = QR avec Q et R deux polynômes premiers entre eux alors : KerP(u) = KerQ(u) ⊕ KerR(u) En plus si P est un polynôme annulateur de u alors : E = KerQ(u) ⊕ KerR(u) de uk dans βk et det M = 1 det Ak . 2 2.1 Polynôme d’endomorphisme ou de matrice Polynôme d’endomorphisme Théorème 2 : Généralisation Si (Pk )1≤k≤p est une famille de polynômes premiers entres

(X − a)k et pas par (X − a)k+1 ). a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X − a)k Q (si et seulement si P est divisible par (X − a)k ). k−1 Théorème. Le reste de la division euclidienne de P par (X − a)k est i=0 P(i) (a) (X − a)i . i! Théorème (caractérisation de l’ordre de multiplicité). a est racine de P d’ordre k si et seulement si P(a) = P ′ (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0 et P(k) (a) = 0. a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement

mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de

À l'usage des élèves de la classe * /  I G (Lecture déconseillée, en premier abords, aux élèves / ).. C 1 À la poursuite de celui qui détermine 1 I Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant