Théorème de convergence dominée

+∞[ (car dominée par 2 au voisinage de +∞). t D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonction f1 est continue sur R. 3. f2 (0) = 0 puis, si x > 0, +∞ f2 (x) = 0 xe−xt dt = −e−xt +∞ 0 = 1 − lim e−xt = 1 (car x > 0). t→+∞ Donc, ∀x 0, f2 (x) = 0 si x = 0 . 1 si x > 0 donc nécessaire pour être sûr de la continuité de la fonction x → f2 n’est pas continue en 0. Comme la fonction g : (x, t) → xe−xt vérifie les deux premières hypothèses du théorème de continuité

à la preuve 12 de la convergence de cette suite, vers ln(432) ! Toutefois, lorsqu’on la visualise à l’aide de Maple, on a l’impression qu’elle oscille indéfiniment (voir la figure à la fin de ce texte) : il faut se méfier des évidences numériques... L’ingrédient essentiel de la preuve de la convergence de la suite de terme général an est le théorème n taubérien d’Ikehara (1931), auquel la partie III et l’essentiel de la partie IV sont consacrées, et dont voici un énoncé. Théorème 1. Soit f : R+ → R+ une

A, et s’ existe n0 tel que (An0 ) < +1 alors il ( 1 \ An ) = lim n=1 n!+1 (An ) . 3 1. 2. Mesure de Lebesgue sur R ([0; 1]) = 1, (B + a) = (B), 8B 2 B(R) et 8a 2 R. b réels, ([a; b]) = (]a; b[) = ([a; b[) = (]a; b]) = b a. Théorème 1 Il existe une unique mesure sur (R; B(R)), notée , telle que Elle est appelée mesure de Lebesgue sur R. Proposition 4 Pour tous a Si I est un intervalle non borné (I) = +1. 4 4.1 Fonctions mesurables Généralités Soient (X; A) et

et géométrie différentielle 1 Chapitre 1 – Nombres réels, suites et fonctions 1 Suites de nombres réels 1.1 Corps des nombres complexes 1.2 Suites de nombres réels 1.3 Limite d’une suite 1.4 Exponentielle complexe 1.5 Relations de comparaison 1.6 Théorèmes d’existence de limites 1.7 Brève extension aux suites complexes Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 2.1 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 2.2 Etude locale d’une fonction 2.3 Relations de comparaison 2.4 Fonctions continues

CHAPITRE 1 Théorème des résidus et applications Inspiré de [?] 1. Fonctions méromorphes et séries de Laurent 1.1. Zéros et pôles. Proposition 1.1. soit U un ouvert, z0 ∈ U , et f ∈ H (U \ {z0 }). On est alors nécessairement dans un des cas suivants : (1) la fonction f peut être prolongée en z0 par continuité et dans ce cas, ˜ le prolongement vérie f ∈ H (U). z0 est une singularité éliminable ou articielle (2) (3) Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 11 12 8 4 Équations diérentielles stochastiques Théorème d'existence et d'unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques propriétés des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Dépendance par rapport à la condition initiale . . . . . . . . . 4.2.2 Caractère markovien de la

................................................................................... Théorèmes limites fondamentaux....................................................... Loi des grands nombres ............................................................................. Théorème de la limite centrale................................................................... Comparaison des différents modes de convergence ............................... Espérances et lois conditionnelles ................

et quantiles d’une loi 1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Principales lois de probabilités . . . . . . . . 1.2.5 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . 1.2.7 Convergence de suites de variables aléatoires 1.2.8 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . 2 Échantillonnage 2.1 L’échantillon aléatoire . . . . . . 2.1.1 Population de taille finie . 2.1.2 Expériences renouvelables 2.1.3 Modèle d’échantillonnage . 2

Un théorème d’identification . . . . . . . . . . . . . . . ÉCO 4.10.2 Recherche de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Simulation de suites de variables aléatoires indépendantes . . . 4.11.1 Inversion de la fonction de répartition . . . . . . . . . . 4.11.2 Méthode du rejet . . . . . . . . . . . . . . U E . . . . . . IQ . . 4.12 Exercices sur le chapitre 4 . . . . . . . . H.N . . . . . . . . . . . . 4.7 5 EC LY T Convergences et loi des grands nombres PO LE 5.1 Convergences de

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation