Théorème de Green

+ + ∂f (x(t), y(t), z(t)) y (t) ∂y ∂f (x(t), y(t), z(t)) z (t) ∂z est exactement la fonction : t → f (x(t), y(t), z(t)) 6.1.3 Th´or`me : Formule de Green-Riemann e e Si γ est une courbe plane ferm´e de classe C 1 par morceaux d´limitant un e e domaine compact simple D du plan, alors on a la formule de Green-Riemann : γ V · γ dt = D ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy o` la courbe γ est parcourue en laissant le dommaine constamment ` sa gauche. u a Cette formule est

suite (un) est décroissante si pour tout entier n, un supegal un+1. Méthode : Pour étudier le sens de variation d'une suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 - un. Si tous les un sont strictement positifs, on compare Un+1/Un et 1. Théorème Soit (un) une suite définie par un = f(n), avec f définie sur [0; +00[ Si f est strictement croissante, alors (un) est strictemnt croissante. Si f est strictement décroissante, alors (un) est strictemnt décroissante. Démonstration : * cas où

généraux 1 , 1 , 1 et 1 3 convergent vers 0 . n n n² n 2 3 ) OPERATIONS ALGEBRIQUES Les théorèmes énoncés sur la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient de deux fonctions sont encore vrais pour les suites. Ex : • • « Le cas de l’inverse » Si lim u n = + ∞ , alors lim n → +∞ n → +∞ n → +∞ 1 =0 un n → +∞ Si lim u n = 0 et u n > 0 ( à partir d’un certain rang ) , alors lim 1 =+∞. un 4 ) THEOREME DES GENDARMES Soit ( u n ) , ( v n ) et ( w n ) trois suites vérifiant à partir d’un

Les suites numériques I/Définition générale Une suite est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturel N (positif ou nul). L’image de l’entier naturel n se note Un (se lit « u indice n »). Le réel Un est appelé terme d’indice n ou de rang n de la suite u. (Un)n >/= 0 Le terme Un+1 est appelé le suivant du terme Un. Ces deux termes sont des termes consécutifs de la suite u. On peut commencer des suites au rang 1 : on note alors la suite (Un)n >/= 1. Exemples : Sois la suite u définie

Exercices Exercices 1 Sujet A 1. Soit U la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison 3. (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 50 Sujet B 1. Soit U la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1 . 2 (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 100 Sujet A Sujet B 1.

convergent vers 0 . | 3 ) OPERATIONS ALGEBRIQUES Les théorèmes énoncés sur la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient de deux fonctions sont encore vrais pour les suites. Ex : « Le cas de l’inverse » • Si +)) u n = + , alors +)) = 0 • Si +)) u n = 0 et u n > 0 ( à partir d’un certain rang ) , alors +)) = + . 4 ) THEOREME DES GENDARMES |

EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) 9 . 6−x U0 = −3 . Un+1 = f (Un ) On considère la fonc tion f définie sur ] − 1; 6[ par f (x) = On définit pour tout entier naturel n la suite (Un ) par 1. La courbe représentative de la fonction f est donnée en annexe accompagnée de la droite d’équation y = x. Construire sur ce graphique les points M0 (U0 ; 0), M1 (U1 ; 0), M2 (U2 ; 0), M3 (U3 ; 0) et M4 (U4 ; 0). Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et

Exercice Partie A On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12. Le point An +1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An, 1) et (Bn, 3). 1) Sur un graphique, placer les points A1, B1, A2, B2. 2) On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn. 2a + bn . Montrer

Suites Définitions. NotationsUne suite numérique est une fonction de ℕ vers ℝ. Si une suite est représentée par la lettre u, on note un l'image de n, appelée aussi terme d'indice n. La suite entière est représentée par (un). Suite des valeurs d'une fonction.Soit f une fonction définie sur [0; +[. On peut définir une suite (un) par un = f (n). Exemple Soit f la fonction définie par . On considère la suite (un) définie par un = f(n). On a alors : , , , etc... Suite définie par récurrenceOn

div a   x       x   y   z   (2) Interprétation physique : Le signe de la divergence de a calculée au point M est lié au caractère convergent ou divergent des lignes de champs à partir de ce point. 1.2.2 Théorème de Green-Ostrogradsky Théorème de Green-Ostrogradsky : Soit une surface fermée S limitant un volume fini V à l’intérieur duquel est défini un champ de vecteur a . Si les dérivées partielles de a sont bornées dans V alors :  a  dS    diva  dV S V Interprétation