Théorème de Jordan

……………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………. IV Continuité et théorème des valeurs intermédiaires Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction. 1) Continuité Exemples et contre-exemples :

recherche des solutions aux questions, en particulier pour les questions 1d et 1e, et pourra utiliser sans d´monstration le e th´or`me de Jordan, ´nonc´ ci-apr`s. e e e e e Th´or`me de Jordan. On appelle courbe de Jordan l’image d’une application continue c : [0, 1] −→ R2 telle que e e c(0) = c(1) et c(t) = c(s) pour 0 t < s < 1. Le compl´mentaire d’une courbe de Jordan a deux composantes connexes e ((( l’int´rieur)) et (( l’ext´rieur))) dont une seule est non born´e. e e e 1o) Montrer que : a) Pour tout

Terminale ST2S FICHE n°5 Nombre dérivé et tangente à une courbe I. Tangente à une courbe L’idée La définition d’une tangente est trop compliquée pour être exposée ici et est hors programme. L’ « idée principale » est la suivante : La tangente à une courbe en un point A est une droite : ¤ qui passe par le point A ; ¤ qui « effleure » la courbe . EXERCICE TYPE 1 Lire graphiquement une équation d’une tangente On a représenté ci-dessous la courbe (Cf) représentative d’une fonction f

Exercice 131 1.a. 1.b. Méthode Conseil Pour trouver tous les points d'ordonnée 5 sur la courbe , on peut tracer la droite d'équation et repérer tous ses points d'intersection avec la courbe . On lit ensuite leurs abscisses : ce sont les solutions. Les solutions de l’équation sont et . Suite Exercice 131 1.c. . Méthode Conseil Bien comprendre le raisonnement : le point d'abscisse de a pour coordonnées . Le point d'abscisse de a pour coordonnées Dire que c'est dire

= 6 et f(1) = 2 donc, y = f’(1) (x-1) + f(1) y = 6x - 6 + 2 y = 6x – 4 3) Sur l’intervalle [- 1 ; 0], la fonction f est continue et strictement décroissante, f (- 1) = 6 > 0 f(0) = - 2 0 > - 2) donc on peut appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 0 admet une solution unique x1 dans [- 1 ; 0]. 4) Tableau de signe de la fonction f x - 1 + ∞ f(x) + - + - 5) Justification pour la représentation de F(x) x -1 + ∞ f(x) + - + - F(x)

condition initiale. Propriété : Preuve 1 S’il existe une fonction f dérivable sur  telle que f’ = f et f(0) = 1 alors f ne s’annule pas sur . Théorème, définition : Preuve 2 Il existe une unique fonction f dérivable sur  telle que f’ = f et f(0) = 1. C’est la fonction exponentielle, notée exp. II – Propriétés algébriques Théorème : relation fonctionnelle caractéristique : Preuve 3 La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur  non nulle qui vérifie les conditions :

POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES REDUCTION DE JORDAN 1.1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Résultats de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Polynôme minimal d’ endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . un 1.1.3 Sous espace caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Etude de eA ; eu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 REDUCTION DE JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 1 Théorème des résidus et applications Inspiré de [?] 1. Fonctions méromorphes et séries de Laurent 1.1. Zéros et pôles. Proposition 1.1. soit U un ouvert, z0 ∈ U , et f ∈ H (U \ {z0 }). On est alors nécessairement dans un des cas suivants : (1) la fonction f peut être prolongée en z0 par continuité et dans ce cas, ˜ le prolongement vérie f ∈ H (U). z0 est une singularité éliminable ou articielle (2) (3) Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en

Introduction Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Chapitre on rappelle la définition et on donne sans démonstration les résultats classiques sur les espaces vectoriels et les applications linéaires (théorème de base incomplète, théorème de la dimension, etc. . .), avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Au Chapitre 2 on introduit le

2.1.3 2.2 Quelques systèmes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Résolution d'un système linéaire à l'aide de transformations élémentaires . . . . . . . . . . 15 2.2.1 2.2.2 Méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Une autre méthode de résolution d'un système AX = B . . . . . . . . . . . . . . . 19 La notion de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .