Théorème de Jordan

Pour R > a, seul le pôle z1 est à l’intérieur du contour fermé ΓR. Puisque z1 est un pôle double, le résidu de la fonction v en ce pôle est donné par : Res (v, ia) = lim z→ia d dz ( (z − ia)2v(z) ) = lim z→ia d dz ( zeiz (z + ia)2 ) = e−a 4a Le théorème des résidus entraîne alors que : ˆ Γ+ R v(z) dz = 2πiRes (v, ia) = −πe −a 2a i (5)9 D’un autre côté, on a : ˆ Γ+ R v(z) dz = ˆ R −R v(x) dx+ ˆ γ+R v(z) dz (6) Dans cette égalité, on va faire tendre R vers +∞. Puisque l’intégrale ´ +∞ −∞ k(x) dx est

cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors 2kπ la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n. p=n p=n S= p=m sin px C= p=m cos px. 2kπ où k ∈ Z : Commençons par calculer les sommes suivantes ; On a pour t

courbes planes  L’ordre sur IR et ses propriétés : Borne supérieure et borne inférieure. Les suites réelles, critères de convergence. Théorème de Bolzano-Weiestrass. Limites d’une fonction numérique à variable réelle. Notion de continuité. Théorème des valeurs intermédiaires. Image d’un segment par une fonction continue. Dérivabilité. Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis. Applications : Fonctions trigonométriques, fonctions hyperboliques et fonctions réciproques. Formule de Taylor

18 # 8 et 9 # 10 # 19 à 21 5% 5% 10% Chapitre 2 : Résolution de systèmes d’équations linéaires par méthodes élémentaires, Gauss et Gauss-Jordan. Inversion de matrices. Système homogène. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 # 1 à 11, 12a)b)c) #1à7 # 1 à 5, 6, 7 à 9 # 1 et 2, 3 et 4 # 1, 2 et 3 #8 # 10 et 11 #5 # 4 et 5 5% 5% 5% 20% 5% Chapitre 3 : Déterminants. Théorèmes relatifs aux déterminants. Inversion de matrices et résolution de systèmes d’équations à l’aide des déterminants. 3.1 3.2 3.3 3.4 Tous #1à6

variables libres. Les variables libres sont nécessairement celles dont le numéro correspond au numéro de colonne d'aucun élément pivot. Déterminer la matrice échelonnée réduite par la méthode de Gauss-Jordan Une matrice est dite sous forme échelonnée réduite (ou bien matrice échelonnée de Gauss-Jordan) si, (a) elle est sous forme échelonnée; (b) tous ses éléments pivots sont égaux à 1; (c) dans une colonne qui contient un 1 comme pivot, il n'y a pas d'autre élément non nul. On ajoute une étape

ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. A propos de l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux » du théorème de convergence normale d’une série de Fourier… Pour toute fonction f :  → , continue par morceaux et de période 2π , on associe ses coefficients 1 2π de Fourier exponentiels définis, pour n ∈ Z, par c n ( f ) = f (t ) e −i n t dt et ses coefficients

cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors 2kπ la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n; n ≤ m. p=m p=m cos px C= On a pour t sin px. S= p=n p=n 2kπ où k ∈ Z : p=m C + iS p=m cos pt + i = p=n p=m sin pt

variables . . . . 1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Eléments de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Théorèmes généraux d’existence et unicité 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Théorème d’existence . . . . . . . . . . . . 2.3 Théorèmes d’unicité . . . . . . . . . . . . . 2.4 Théorèmes sur les solutions globales . . . . 2.5 Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Eléments

dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . . 1.2.3 Applications : dérivées partielles et dérivées . . . . . . . . . . 1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . 1.3.1 Théorème d’inversion globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Théorème d’inversion locale . . . .

Étudier les formules du changement de bases pour les vecteurs et les applications linéaires. • Définir le rang d’une matrice, les opérations élémentaires sur une matrice (interprétation en terme de produit matriciel). Méthodes de Gauss et de Gauss-Jordan. Sommaire I) Matrices, liens avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Structure d’espace vectoriel sur les matrices . . . .