Théorème de la bijection

la fonction exponentielle : 1) Sens de variations : Théorème : la fonction exp est strictement croissante sur . Démonstration : Valable pour toute bijection strictement croissante. Soient u et v ( IR ; on a : u = ln ( eu ) et v = ln ( ev ) . Si u < v alors eu < ev car la fonction ln est strictement croissante ; ( lna < lnb ( a ey ( x > y ➢ ex = ey ( x = y ➢ ex > 1 ( x > 0 ➢ ex < 1 ( x < 0 2) Etude des limites : Théorème : • [pic] • [pic] Démonstration : • Soit

ROC: Restitution Organisée des Connaissances ∗ Terminale S Septembre 2005 Table des matières 1 Analyse 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle 1.6.1 La fonction exponentielle . . . . . . .

Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes I - Fonction exponentielle népérienne Théorème et définition Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que : f’ = f et f(0) = 1 On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la note exp. Propriétés immédiates La fonction exp est strictement positive sur R. La fonction exp est dérivable sur et : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel. La fonction exp est strictement croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par

ROC: Restitution Organisée des Connaissances  Terminale S Septembre 2005 Table des matières 1 Analyse 2 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Propriétés

(resp. plus petit élément), alors celui-ci est unique. Preuve. Soient x, y deux plus grands éléments. Comme y ∈ A et x pge on a y ≤ x. De même, x ∈ A et y pge donne x ≤ y. Par antisymétrie de la relation ≤, on a x ≤ y et y ≤ x implique x = y. Théorème 1. On munit N de la relation d’ordre usuelle. Alors : 1) Tout sous-ensemble non vide de N admet un plus petit élément. 2) Tout sous-ensemble non vide et majorée de N admet un plus grand élément. 1.3. MAJORANT, PLUS GRAND ÉLÉMENT, BORNE SUPÉRIEURE

THÉORÈME DE CAYLEY Théorème Tout groupe G, d'ordre n, est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn. Démonstration : Nous allons montrer que G est isomorphe à un sous-groupe de Bij (G) (groupe des bijections de G dans lui même) On note multiplicativement la loi de G. 1. Soit g ∈ G. On considère l'application suivante : ϕg : G x →G gx   (On dit que l'on a fait opérer G sur lui même par "translation à gauche") ϕg n'est pas un morphisme de groupes. Cependant ϕg est bijective

les orbites de (G/H)g pour cette opération. |H| Soit i compris entre 1 et n. Card Ωi = |Hx H | où xi H est un représentant de Ωi donc i le cardinal de Ωi divise l'ordre de H. H est un sous-groupe de G donc l'ordre de H divise l'ordre de G par le Théorème de Lagrange. Ainsi, le cardinal de Ωi divise p. p étant premier, le cardinal de Ωi vaut soit 1 soit p Comme les orbites forment une partition de (G/H)g et Card (G/H)g = [G : H] =p, on a p= n Card Ωi . i=1 Si il existe un entier i compris entre 1

=⇒ −1 ≤ 1 + 2 sin(x) ≤ 3 √ −1 1 + 2 sin x 3 √ ≤ √ √ (car 1 + x > 0) ≤ =⇒ 1+ x 1+ x 1+ x  −1  √ =0  lim √ √ x→+∞ 1 + x 2. On a : lim x = +∞ =⇒ lim 1 + x = +∞ =⇒ 3 x→+∞ x→+∞   lim √ =0 x→+∞ 1 + x Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, lim f (x) = 0. x→+∞ Exercice 11. On va montrer par l’absurde que ∀x ∈ R+ on a f (x) ≥ 0 : ainsi on suppose qu’il existe a ∈ R+ tel que f (a) < 0. Comme f est décroissante sur ]0; +∞[ donc aussi sur ]a; +∞[, ainsi pour tout x

ensemble E. Image directe, image réciproque d'applications. si x ∈ A si x ∈ E \ A Notations f(A) et f−1 (B). Composition. Injection, surjection, bijection. Application réciproque d'une bijection. Composées d'injections, de surjections, de bijections. Réciproque de la composée de bijections. L'application réciproque d'une bijection f est notée f−1 . La notation f−1 (B) est cohérente. 2. Calculs algébriques dans R Puissances entières d'un réel. Les élves doivent savoir opérer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espaces anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sous-espaces anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Applications anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Théorèmes de Menelaüs et de Ceva dans le plan ane . Espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Espaces projectifs réel . . . . . . . . . . . 2.1.2 Axiomes d'incidence dans un plan projectif 2.1.3 Eléments à l'inni . . . . . . . . . . .