Théorème de Ménélaüs

question, on suppose que le tasseau [EF] est placé à 0,50 m du côté [AB].On a donc : AE = BH = 0,50 m.a)En se plaçant dans le triangle SBM et en utilisant le théorème de Thalès, calculer FH.Dans le triangle SBM, on sait que (FH) et (SM) sont parallèles, que F appartient à (BS) et que H appartient à (BM). On peut donc effectivement utiliser le théorème de Thalès.On obtient : BFBS=BHBM=FHSMDonc BFBS=0,53=FH1,8Donc FH=0,5×1,83Donc FH = 0,3 m.b)En déduire la longueur EF dutasseau.EF = EH + FH = 2,20 + 0,3

d’un côté dans un triangle : Théorème de Thalès Soient deux droites (M B ) et (NC ) sécantes en un point A, telles que les droites (M N ) et (BC ) soient parallèles. Alors les rapports suivants sont égaux : AM = AB AN = M N (autrement dit, les longueurs des côtés des triangles AM N et ABC AC BC sont proportionnelles). Ex : ABC est un triangle, M ∈ [AB ], N ∈ [AC ], AM = 5, AN = 6, AB = 8, BC = 4 ; de plus, les droites (M N ) et (BC ) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, AM = AN = M N AB

 La réciproque du Théorème de Thalès La réciproque du Théorème de Thalès sert à montrer que deux droites sont parallèles. Si dans le triangle ABC, les points A,M,B et les points A,N,C sont alignés dans le même ordre et alors d'après la réciproque du théorème de Thalès (MN) est parallèles à (BC) → 2 droites sécantes en un même point → 2 points alignés sur chacune des 2 droites → 2 droites parallèles Si il y a égalité de rapport

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espaces anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sous-espaces anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Applications anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Théorèmes de Menelaüs et de Ceva dans le plan ane . Espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Espaces projectifs réel . . . . . . . . . . . 2.1.2 Axiomes d'incidence dans un plan projectif 2.1.3 Eléments à l'inni . . . . . . . . . . . . . .

Anne HOFF MADELHIS Année 1, Semestre 1 Année scolaire 2014-2015 U902 : GEOMETRIE PROJECTIVE Karine Chemla, Lazare Carnot et la généralité en géométrie. Variations sur le théorème dit de Menelaus 1 SOMMAIRE : Introduction................................................................................................................................3 I.La généralité selon Carnot.................................................................................................4 1.La lettre à Bossut

géométriques. I) Un problème de construction géométrique est la construction d’une figure géométrique à l’aide uniquement de la règle non graduée et du compas. Cela nécessite de connaitre à fond le cours de géométrie : définitions, propriétés et théorèmes. Exemple : construire géométriquement (uniquement à l’aide de le règle et du compas) le troisième sommet A d’un triangle ABC, connaissant le point B et C, la distance BM= 4cm où M est le milieu de [AC] et l’angle BAC = 30 0 La résolution

triangle A’B’C’ ? En déduire l’alignement des trois points O, G et H (notations de l’exercice 1) Quelques configurations 5. n Théorème de Ménéalaüs Soit ABC un triangle non aplati et D une droite qui coupe respectivement (BC), (CA) et (AB) en P, Q, R distinct des sommets. Utiliser la parallèle à D en B pour établir la relation de Ménélaüs : . Démontrer la réciproque. 6. n Théorème de Céva Si ABC est un triangle non aplati, et si P, Q, S sont des points respectivement situés sur (BC), (CA) et (AB), en

Généralités 1) Définition et exemples 2) Sous–espaces vectoriels 3) Sous–espace vectoriel engendré par une partie 4) Dépendance et indépendance linéaire. 5) Bases 6) Relation de liaison II : Espace de dimension finie 1) Théorème fondamental 2) Théorème de la dimension des bases 3) Théorème de la base incomplète 4) Dimension d'un sous–espace vectoriel 5) Rang d'un système de vecteurs III : Somme de sous–espaces vectoriels 1) Somme de deux sous–espaces vectoriels 2) Somme directe de deux sous–espaces vectoriels

Exemples 6 1. Deux droites parallèles sont toujours coplanaires. 2. Deux droites dont l’intersection n’est pas vide, sont toujours coplanaires. F IGURE 1.1 – Droites coplanaires F IGURE 1.2 – Droites non coplanaires Page 11 sur 78 1 M.HOUIMDI Théorème 1 − − Soient E un espace affine de dimension 3, D = D(A, → u ) et D = D(B, → v ) deux droites affines de E . On suppose que D et D ne sont pas prallèles, alors, l’une des deux propriètés suivantes est vérifiée, − →− → i) Si (AB, → u ,− v ) est lié

sphériques (p.52) III.2 Quelques propriétés des triangles isocèles et équilatéraux (p.53) III.3 Equivalents des médiatrices, bissectrices... (p.53) III.4 Cercles du triangle sphérique (p.60) III.5 Théorème de Morley (p.66) III.6 Inégalité isopérimétrique pour le triangle sphérique (p.67) III.7 Théorème de Legendre (p.70) IV Applications IV.1 Une propriété des quadrilatères sphériques (p.74) IV.2 Volume d'un parallélépipède oblique (p.75) IV.3 La navigation (p.77) IV.4 L'astronomie (p.83) 1 Introduction