Théorème de Rolle

pour la résolution des exercices • Résolution des équations et inéquations du premier et du second degré dans R • Raisonnement par récurrence • Définition de la fonction partie entière • Notions de borne supérieure et borne inférieure dans R et le théorème : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure dans R. Les méthodes à retenir • On sait résoudre les équations et les inéquations du premier degré ou © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Pour résoudre une

famille qui est obtenue en remplaçant dans G l’un des vecteurs par est donc génératrice, ce qui est bien ce que demandait le lemme. Corollaire : le nombre d’éléments d’une famille libre est toujours inférieur ou égal à celui d’une famille génératrice. Théorème 1 : les bases (finies) d’un espace vectoriel (s’il y en a) ont toutes le même nombre d’éléments. Définition : la dimension d’un espace vectoriel ayant au moins une base finie est le nombre d’éléments de cette base : Un espace vectoriel n’ayant pas

X divise P ◦ P − P et P − X donc la somme P ◦ P − X . pgcd(A, C) | A et pgcd(A, C) | C donc pgcd(A, C) | BC puis pgcd(A, C) | pgcd(A, BC). Inversement. Posons D = pgcd(A, BC). On a D | A et A ∧ B = 1 donc D ∧ B = 1. De plus D | BC donc par le théorème de Gauss, D | C et nalement D | pgcd(A, C). Exercice 15 : Posons D = pgcd(A, B). On a D2 = pgcd(A2 , B 2 ) associé à A2 donc deg D2 = deg A2 puis deg D = deg A. Or D | A donc D et A sont associés. Puisque D | B , on obtient A | B . Exercice

pour la résolution des exercices • Résolution des équations et inéquations du premier et du second degré dans R • Raisonnement par récurrence • Définition de la fonction partie entière • Notions de borne supérieure et borne inférieure dans R et le théorème : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure dans R. Les méthodes à retenir • On sait résoudre les équations et les inéquations du premier degré ou © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Pour résoudre une

Avertissement Ces notes ont été redigées pour servir de support au cours M11 “Analyse réelle I ”, enseigné aux étudiants de la première année de la licence STS, mention mathématiques. Il s’agit d’un résumé du cours. Ainsi, les démonstrations des théorèmes ne sont par reportées ici, mais elles sont développées pour la plupart pendant le cours. Il ne faut donc pas considérer ces notes comme un texte de référence et les étudiants sont fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent

Applications Linéaires 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. Applications linéaires . . . . . . . . Sous espace vectoriel stable par f Image et noyau . . . . . . . . . . . Projecteur . . . . . . . . . . . . . . Symétries . . . . . . . . . . . . . . Théorème du rang . . . . . . . . . Système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 18 18 18 19 19 19 19 Ensemble de définition . . . . . . . . . Monotonie .

arguments qui la composent ; la pratique de la démonstration leur apprend à créer et à exprimer eux-mêmes de tels arguments. L’intérêt de la construction d’un objet mathématique ou de la démonstration d’un théorème repose sur ce qu’elles apportent à la compréhension-même de l’objet ou du théorème : préciser une perception intuitive, analyser la portée des hypothèses, éclairer une situation, exploiter et réinvestir des concepts et des résultats théoriques. Calculer, manipuler des symboles, maîtriser

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12.7. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 12.8. Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 12.9. Image d’un segment par une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 12.10. Caractérisation des fonctions

est un minorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A x < m + ε, c'est-à-dire que m + ε n'est pas un minorant. Remarque Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 8 Analyse en 30 fiches 1 Application Soit E la partie de R définie par : E = n− n+ 1 n 1 n ; n ∈ N∗ .

vous avez une majoration de son degré. Prenez des valeurs particulières de X pour déterminer les coefficients du reste. Indication 11 Raisonnez par analyse/synthèse en observant les racines. Indication 12 Traduisez en terme de racines. Indication 13 Rolle puis raisonnement par l’absurde. Indication 14 Supposez que c’est le cas. Indication 15 Explicitez l’expression de An. Pour Pn, déterminer le terme domi- nant de (X2 + 3X − 5)n. Indication 16 Regardez les racines complexes de P . Montrez que si α est