Théorème de Rolle

TABLE DES MATIÈRES 13 Conditionnement et indépendance 13.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Les trois théorèmes fondamentaux . . . . . 13.3 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Indépendance de deux événements . . . . . 13.3.2 Indépendance d’une famille d’événements . 13.4 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Le

mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de

3 Un théorème est une proposition vraie particulièrement importante. Un lemme est une proposition vraie, utile à la démonstration d’une proposition plus importante. Un corollaire est une proposition vraie, conséquence immédiate d’une autre proposition vraie. Une conjecture est une proposition qu’on pense généralement vraie, sans en avoir de preuve. Exemples : – « l’axiome de récurrence » dans N, « l’axiome de la borne supérieure » dans R. – « le théorème de Pythagore », le « théorème de Rolle

Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . .

La plupart des math´maticiens sont d’accord sur un e certain nombre d’axiomes (ceux qui fondent la th´orie des ensembles, voir chapitre suivant) e qui sont donc la plupart du temps sous-entendus. Par exemple nous verrons au chapitre 5 que : ´ ` THEOREME: Soit n un nombre entier qui n’est pas le carr´ d’un entier alors il n’existe e √ 2 pas de nombre rationnel x tel que x = n (en d’autres termes n n’est pas un nombre rationnel). Pour appliquer un th´or`me ` une situation donn´e, on doit d’abord v´rifier

. . . . . . . . . . 1.8.2 Extrema globaux . . . . . . . . . . . 1.9 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Théorème des Fonctions Implicites . 1.9.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Intégrales multiples 2.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exemple introductif . . . . . 2.1.2 Théorème de Fubini . . . . . 2.1.3 Changement de variables . . . 2.1.4 Intégrales doubles généralisées 2.2 Intégrales triples . . .

polynomiales du premier et deuxième degré ; • mathématiser, en liaison avec les fonctions étudiées, des situations simples et résoudre des problème- mATHEmATIQUES 36 Géométrie • résoudre des problèmes faisant intervenir : - les théorèmes de Thalès, de Pythagore, d’Euclide, de la hauteur ; - les propriétés du cercle et des angles inscrits ; • définir les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. COURS DE RENFORCEMENT Ce cours s’adresse de manière obligatoire aux élèves

composition peut évoluer dans l’année afin de préparer au mieux les écoles « parisiennes ». Les DL sont obligatoires pour tous. Les DL* ne sont obligatoires que pour les élèves du groupe *. 5. Les questions de cours en colle (élèves et colleurs) : Les théorèmes et autres propositions dont les démonstrations sont au programme de colle sont libellés par (QC) ou bien par (QC*). Les questions (QC*) peuvent être proposées aux élèves du groupe * mais pas aux autres élèves. En colle, il doit toujours y avoir en

continue sur R. Comme f est décroissante, elle admet une limite en +∞ qui est soit finie, soit −∞. Du coup, lim x→+∞ g(x) = −∞. De même, f étant décroissante, elle admet une limite en −∞ qui est soit finie, soit +∞. Du coup, lim x→+∞ g(x) = +∞. Le théorème de la valeur intermédiaire appliqué à g (continue) montre que g s’annule au moins une fois, donc f admet au moins un point fixe. Supposons que f possède deux points fixes distincts a et b avec a < b. Alors : f(a) = a < b = f(b), donc f(a) <

internationale en matière de dotations de facteurs entraine : Des écarts de prix de facteurs Des différences dans la combinaison productive utilisée. De ce constat, deux auteurs suédois HECKSHER et Ohlin et un américain Samuelson vont élaborer un théorème du commerce international : le commerce international conduit chaque pays à se spécialiser dans la production intensive en facteur abondant sur son territoire. IV) LE PARADOXE DE LEONTIEF En 1954 Leontief analysa en continu en travail et en capital