Théorème de Stokes

(38) (39) (40) Entrée : le champ vectoriel A Sortie : le champ vectoriel ∇ × A 3.1 Théorème de Stokes On veut calculer la circulation d'un champ vectoriel A le long d'une courbe fermée C. On définit une surface S quelconque, mais dont le bord est délimité par C. On admet encore que les dérivées partielles de ax, ay et az sont continues dans toute une région de 33 contenant S. Le théorème de Stokes s'énonce ainsi : ∫ A ⋅ dl = ∫∫ (∇ × A )⋅ dS = ∫∫ (∇ × A )⋅ n ⋅ dS C S S (41) La

point de vue pratique, on retiendra que l’accélération peut s’écrire sous différentes formes équivalentes : → − →(→, t) = ∂ v + →.→ → − − − − − γ x v v ∂t → − − →(→, t) = ∂ v + − → − − γ x grad ∂t v2 2 − − → − + rot → ∧ → v v ou encore : II.6 Théorème de Reynolds Soit un ensemble de particules fluides que l’on M0 suit dans leur mouvement. L’ensemble occupe M le volume Dt à l’instant t. Soit aussi une propriété physique représentée en variable d’Euler − par F(→, t). x Dt D0 La question est :

. . . . . . . . . . . . . . . . . L’équation de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fluides en équilibre 3.1 3.2 Fluide au repos dans un champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Théorèmes de Bernoulli - Applications 4.1 4.2 4.3 Écoulement parfait

] x = 2 cos t y = 3 sin t a) Reconnaître et représenter rapidement C b) Déterminer une représentation cartésienne de C c) Calculer, C étant parcourue dans le sens direct: R 1) I = RC ! 1 (justi…er une réponse rapide) 2) J = C ! 2 0.4 Flux, théorème de Stokes... ! ! ! Exercice 9 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O, i ; j ; k ), soit (S) la surface dé…nie par: x = R cos cos ' y = R sin cos ' z = R sin ';pour appartenant à [0; 2 ]; et ' appartenant à [ 1) Reconnaître S 2) Exprimer l’élément

az  div a   x       x   y   z   (2) Interprétation physique : Le signe de la divergence de a calculée au point M est lié au caractère convergent ou divergent des lignes de champs à partir de ce point. 1.2.2 Théorème de Green-Ostrogradsky Théorème de Green-Ostrogradsky : Soit une surface fermée S limitant un volume fini V à l’intérieur duquel est défini un champ de vecteur a . Si les dérivées partielles de a sont bornées dans V alors :  a  dS    diva  dV S V Interprétation

........................................ 40 II- THEOREME DE LA RESULTANTE CINETIQUE ............................................................................................. 40 1- Loi de la résultante cinétique pour un système ouvert ...................................................... 40 2- Loi de la résultante cinétique pour un système fermé ........................................................ 41 3- Cas du régime permanent: théorème d’Euler ........................................

du fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Equation des fluides isothermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Ecoulement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Les équations de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Comportement non-newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Modèle d’Oldroyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Modèle d’Oldroyd-B

sorte que sa vitesse change de direction (le mouvement n’est pas uniforme), et aussi sa valeur absolu diminue par les effets des contraintes visqueuses. Dans notre cas on utilise le théorème d’Euler pour déterminer la force exercée par le fluide sur le cylindre. Pour cela on simplifiera les équations de Navier Stokes par les hypothèses suivantes : - L’écoulement est bidimensionnel. - L’écoulement est stationnaire. - La force de gravité est négligeable. - Dans le domaine d’étude on considère que

. . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Classification des distributions de la vitesse du vent : 1.3.3 Modélisation de la vitesse du vent . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Dynamique des fluides et Turbulence . . . . . . . . . . 1.3.5 Equation de Navier-Stokes Stochastique . . . . . . . . 1.3.6 Dynamique de la population . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Neurophysiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.8 Evolution de la courbe de taux d’intérêt en Finance : . 1.3.9 Equation de Korteweg-de

champs grad rot div div . grad rot grad grad grad div . rot grad 2 grad . . rot rot 3 Théorème d’OSTROGRADSKY . Le flux d’un champ de vecteur à travers une surface fermée est égal à l’intégrale triple de sa divergence étendue au volume intérieur de cette surface. COMPLEMENT MATHEMATIQUE Formulaire d’analyse vectorielle Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/ 4 Théorème de STOKES . . La circulation d’un champ de vecteur le long d’un contour fermé est égale au flux