Théorème de Taylor

Théorème de Taylor Aller à : Navigation, rechercher Pour les articles homonymes, voir Taylor. En analyse, le théorème de Taylor appelé aussi la formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 17151, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. De manière plus précise, soit : * I un intervalle de ℝ et a un élément

est analytique sur U U un ouvert de si et seulement si f C et f : U → C. est développable en série entière au voisinage de chaque point de U . Théorème des zéros isolés : les zéros d'une fonction analytique f sur un domaine U sont isolés ou bien la fonction f est nulle. Théorème du prolongement analytique : deux fonctions analytiques qui coïncident sur un sous-ensemble non discret (suite convergente, segment, voisinage d'un point...) d'un domaine U sont

apprendre à les calculer. Vous aurez essentiellement besoin de savoir manipuler des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison des fonctions et la dérivation. Table des matières 1 Cours 1.1 Polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . 1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . 1.3 Opérations sur les développements limités 1.4 Développement des fonctions usuelles . . . 1.5 Développements asymptotiques . . . . . . 2 Entraînement 2.1 Vrai ou faux . . . 2.2 Exercices . . . .

La formule de Taylor et les développements limités formule I) La formule de Taylor 1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral On considère une fonction de classe (c’est-à-dire fois dérivables et à dérivées continues, en particulier la -ième) dans un intervalle ouvert contenant un réel En pratique il s’agira surtout de fonctions de classe On a la formule suivante (appelée formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) : Ce que l’on écrit habituellement : Cette formule se démontre

2 Table des matières 1 Compléments d’Algèbre Linéaire 1.1 Disques de Gershgorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Théorème de Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation Polynomiale 2.1 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . 2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . 2.3 Forme de Newton . . . . . . . . . . 2.4 Polynômes orthogonaux . . . . . . 2.4.1 Polynômes de Legendre . . 2.4.2

dérivées . . . . . . . . . . . . Propriétés des dérivées . . . . . . . . . . . . Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques réciproques . . Formule des accroissements finis . . . . . . Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . Infiniment petit . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités-définition et calcul Développements limités-applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 L'induction 3.0.21 3.0.22 Théorème (Bon ordre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe d'Induction (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 15 15 15 Bekkali 3.0.23 Notions fondamentales

s’éliminer avec le développement limité du cosinus. Exercice 6 - Astucieux ! - L1/Math Sup - ?? ex = P100 k=1 xk k! + o(x100). Exercice 7 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup - ?? 1. Calculer f0 et appliquer les théorèmes du cours. 2. f est impaire. 3. Écrire f−1(x) = a1x + a3x3 + a5x5 et utiliser que f  f−1(x) = x en composant les développements limités. Exercice 8 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup/Oral Mines - ?? Posons g = f−1(x)

.... 126 Chapitre 4 > Application aux calculs d’aires et de volumes ............................. 129 Chapitre 5 > Changement de variable dans une intégrale** ................................... 134 Chapitre 6 > Formule de Taylor avec reste intégral** ................................................. 136 > Exercices d’application ............................................................................................................... 142 > Solutions des exercices

11−x=1+x+x2+o(x2). DL2 en 0 de e11−x : e11−x=e⋅(1+(x+x2)+(x+x2)22+o(x2))=e⋅(1+x+32x2+o(x2)). Intégration (cf. le lemme dans la démonstration de la formule de Taylor-Young) Si f admet un DLn en x0, alors toute primitive F de f admet un DLn + 1 en x0 qui est F(x)=F(x0)+∑i=0naii+1(x−x0)i+1+o((x−x0)n+1). Dérivation Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DLn pour la dérivée d'une fonction admettant un DLn + 1 en x0. Par exemple, la fonction définie par f(x)=x3sin(1x2) pour tout