Théorème des accroissements finis

est inutile de recopier les énoncés. Toutes réponse doit être justifiée. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction dans la correction. Question de cours (6 points) 1. Enoncer le théorème de Bolzano-Weierstrass. 2. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires 3. Enoncer le théorème des accroissements finis Correction de la question de cours 1. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente. 2. Soit un intervalle de . Pour tout , avec , pour tout entre et (c’est-à]

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer

√ Soit f : R → R définie par f (x) = ex 3 sin x. Montrer que √ nπ f (n) (x) = 2n ex 3 sin x + 6 b) x → (x2 + 1)ex k=0 k Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 janvier 2015 Théorème de Rolle Exercice 24 [ 01370 ] [correction] Soit f : R → R dérivable. On suppose que f ne s’annule pas. Montrer que f ne peut être périodique. Enoncés 3 Exercice 30 [ 01376 ] [correction] Soient n ∈ N, a < b ∈ R et f : [a, b] → R une fonction

des y ? O 1/8 1/4 1/2 1 x Définition mathématique d’une limite finie en une valeur finie 13 Exemples 14 Limite infinie en une valeur finie 15 Limite finie en l’infinie 16 Exemples 17 Limite infinie en l’infinie 18 Exemples 19 Théorème des croissances comparées 20 Concrètement … 21 Formes indéterminées 22 23 Limite à droite, limite à gauche 24 Exemples 25 Passage à la limite dans les inégalités 26 Continuité d’une fonction Continuité en un point 27 y y O x0 O

Vidéo [000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction Vidéo Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = 1 − t2 n (n) [000717] est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2 +

Primitive, dérivée A) Primitive Théorème : Soit , admettant un DL à l’ordre n en a. Si f admet une primitive F sur I, alors F admet un DL à l’ordre en a, obtenu de la manière suivante : Si , Alors . Démonstration : où . Posons Ainsi, . On doit donc montrer que . Notons Soit . D’après le théorème des accroissements finis appliqué à entre 0 et x, il existe tel que : Ainsi, pour : Donc , donc . B) Dérivation Théorème : Soit . Si f est dérivable et

Correction [000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction [000717] Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = Indication Correction 1 − t2 n (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. [000715] Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2

[000739] Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction Vidéo [000717] Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = 1 − t2 n (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo [000715] Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la

définie sur IR+ par : hx=f-11+1xh0=-2 ;x&gt;0 1/ Montrer que h est continue sur IR+ . 2/ Montrer que h est dérivable sur IR*+ et que ∀ x&gt;0 on a : h'x=2π(1+x2) 3/ a- Soit a&gt;0 Montrer que, en utilisant le théorème des accroissements finis qu’il existe un réel c∈0, a : ha+2a=2π(1+c2) b- En déduire que h est dérivable en 0 + . c- Dresser le tableau de variation de h et construire sa courbe représentative. Exercice 11 : Le plan est orienté à un

Une usine fabrique des boîtes de conserve cylindriques. Ces boites doivent contenir un volume V. Pour économiser de la peinture, calculer les dimensions de la boîte afin que la surface extérieure de celle ci soit minimale. 4 Théorème de Rolle, des accroissements finis et applications Exercice 14 1. Montrer que si une fonction f dérivable s’annule en n + 1 points distincts de I ( où n ∈ N∗ ), alors f s’annule en au moins n point distincts de I. 2. Soit f application de I dans R, n fois dérivable