Théorème des bornes

: (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z tel que série numérique an z n est absolument convergente. |z| < |z0 |, la

fonction On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par : 1. Calculer f '(x) et montrer que l’on a : . 2. En déduire le tableau de variations de f sur ]0 ; +[ (les limites aux bornes ne sont pas demandées). 3. Justifier alors que, pour tout x de ]0 ; +[ ,on a : Partie B: Utilisation des théorèmes de comparaisons 1. Démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : 2. Déterminer : En déduire On rappelle que la dérivée de la fonction . Correction :

1≤x<2 . . -1≤x<0 Ent(x)=0 Ent(x)=1 . . Ent(x)=-1 Remarque : Toute fonction continue n'est pas nécessairement dérivable Exemples : • f(x)=|x| • f(x)= √x Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ;b] Si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(0)=k admet au moins une solution. Théorème de la bijection (corolaire) Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a ;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation

un phénomène complexe. On s’intéresse aux équations fondamentales qui régissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier : - L’équation de continuité (conservation de la masse), - Le théorème de Bernoulli (conservation de l’énergie) et, - Le théorème d’Euler (conservation de la quantité de mouvement) 2 EQUATION DE CONTINUITE Considérons un écoulement permanent d’un fluide incompressible de masse volumique ρ dans une conduite (voir figure suivante). dm1

équivalents en courants continu et alternatif . . . 20 Modèle dynamique du transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Paramètres hybrides du transistor bipolaire . . . . . . . . 24 2.2.2 2.3 17 2.1.1 2.2 Théorème de superposition pour le continu et l’alternatif . . . . . Interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Couplage . . . . . . .

III.2. VF : La caractéristique d’une source de tension idéale est une droite verticale ? III.3. VF : La caractéristique d’une source de tension réelle est une droite verticale ? III.4. VF : Une source idéale de courant a une tension imposée à ses bornes par le reste du circuit ? III.5. VF : Il est possible de mettre une source idéale de courant en court-circuit ? Et une source idéale de tension ? III.6. Quelle est l'équation correspondant à un générateur de tension ? Et son MET ? III.7. Quelle

5 1.3 Relation tension-courant 18 EXERCICES 30 CHAPITRE 2 • LES RÉSEAUX LINÉAIRES EN RÉGIME STATIQUE 44 2.1 Définitions 44 2.2 Lois de Kirchhoff 47 2.3 Associations de dipôles 49 2.4 Principaux théorèmes 52 2.5 Méthodes d’analyse 61 2.6 Puissance et énergie 72 EXERCICES 76 CHAPITRE 3 • ANALYSE HARMONIQUE 100 3.1 Représentation d’un signal sinusoïdal 100 3.2 Généralisation de la loi d’Ohm 107 3

REGIME SATURE 111 4.7.1. Trigger de Schmitt : comparateur à Hystérésis 112 4.7.2. Multivibrateur 114 4.7.3. Oscillateur à AOP 117 4.8. APPLICATION DES AOP A LA RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLS 119 5. FILTRES 121 5.1. THEOREME DE FOURRIER 121 5.1.1. Cas particuliers 122 5.1.2. Exemples de décomposition 122 5.2. TRANSFORMEE DE LAPLACE (TTP) 125 5.2.1. Propriété de la T.P 125 5.3. APPLICATIONS : FILTRES ET ANALYSE DES CIRCUITS 126 5.3.1. L’application

linéaire (utiliser le théorème de Thalès !). NB : Le théorème de Thalès spécifie que le rapport des segments AM / AB (ou BM / AB) se retrouve en projection sur chacun des 2 axes. Comme il est aisé d’écrire les valeurs des projections de chaque segment, il est trivial de trouver une équation dans laquelle Me est l’inconnue. Il n’est pas très difficile de la résoudre (un peu de courage !). Function MédianeDistribution(X as Range, F as Range) as Double X représente le vecteur des bornes supérieures des

Rb= R2.R3 R1+R2+R3 Rc= R1.R3 R1+R2+R3 Conversion triangle ⇒ étoile On relie les bornes A=B et A’=B’ RBC=RB’C’ ⇔ 1 1 + = R1 R3 1 1 1 Ra+Rb ⇔ + = Eq(4) RaRb R1 R3 RaRc+RbRc+RaRb Rc+ Ra+Rb On relie les bornes A=C et A’=C’ RAB=RA’B’ ⇔ 1 1 + = R2 R3 1 1 1 Ra+Rc ⇔ + = Eq(5) Ra.Rc R2 R3 RaRc+RbRc+RaRb Rb+ Ra+Rc On relie les bornes B=C et B’=C’ RAC=RA’C’ ⇔ 1 1 + = R1 R2 1 1 1 Rb+Rc ⇔ + = Eq(6) RbRc R1 R2