Théorème des deux carrés de Fermat

est un nombre premier ou non suivant la valeur de n. 1. Avec la calculatrice émettre une conjecture. 2. (a) Vérifier que pour tout X, X + 1 = (X + 1) − 2X. (b) En déduire une autre écriture de x + 1 puis une factorisation de x + x + 1 en un produit de deux polynôme de degré 2. 3. Résoudre les équations x2 + x + 1 = 1 et x2 − x + 1 = 1. 4. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, l’entier n4 +n2 +1 est-il premier ? Justifier la réponse. 4 4 2 2 2 2 Devoir maison 3 Exercice 1. Soit P la parabole

démonstration du théorème de Fermat Vianney BERNET Juin 2007 Bertrand LAMBELIN Sommaire Sommaire p2. Introduction p3. I. Historique du Grand théorème de Fermat p4. 1. Pierre de Fermat p4. 2. Peu à peu, différents cas sont démontrés II. Méthode utilisées pour la démonstration p7. 1. Démonstration pour le cas n=4 p7. A. Démonstration en deux étapes B. Conséquences du Théorème de Fermat pour n=4

Jellouli Résumé vidéo «Le Dernier théorème de Fermat» Simon Singh: Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonça en marge d'une traduction(du grec au latin) des arithmétiques de Diophante, au regard d'un problème ayant trait aux triplets pythagoriciens. En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme ceci: Théorème 1 — Il n'existe pas de nombres entiers

On appelle voisinage de +∞, tout intervalle V ouvert du type V =]A, +∞[, avec A ∈ R. 3. On appelle voisinage de −∞, tout intervalle V ouvert du type V =] − ∞, A[, avec A ∈ R. Proposition 2 Intersection de voisinages Si x 0 ∈ R et si V1 et V2 sont deux voisinages de x 0 , alors V1 ∩ V2 est encore un voisinage de x 0 . En particulier V1 ∩ V2 = . 1.2 Limite finie en un point x 0 ∈ R Soit f une fonction définie sur un intervalle I . 159 C HAPITRE 8 : Limites et comparaison des fonctions numériques

l'Égypte ancienne portant trois versions d'un même texte qui a permis le déchiffrement moderne des hiéroglyphes. L'inscription qu'elle comporte est un décret promulgué à Memphis en 196 avant notre ère au nom du pharaon Ptolémée V. Le décret est écrit en deux langues (égyptien ancien et grec ancien) et trois écritures : égyptien en hiéroglyphes, égyptien en écriture démotique et alphabet grec. La pierre a une dimension de 112 par 76 centimètres (par 28 cm d'épaisseur). La stèle est en granodiorite, un matériau

illisible pour tout le monde excepté le destinataire qui possède une clef. Nous allons nous intéresser à l'algorithme de chiffrement connu sous le nom de RSA des noms des ses auteurs : Ron Rivest, Adi Shamir et Léonard Adleman. Le chef du réseau choisit deux nombres premiers p et q puis calcule leur produit n . Il choisit ensuite un entier naturel e tel que PGCD  e ,  p − 1   q − 1  = 1 . Il diffuse la clef publique { n ; e } . La clef privée est un entier naturel d tel que de ≡1 [  p − 1   q

Plan 1 2 3 4 PGCD Zn et Z∗n Algorithme d’Euclide Complexité de l’algorithme d’Euclide ϕ(n) Fermat et Euler Théorème chinois Déchiffrement RSA Eléments primitifs Théorème de Lucas Fonctions génératrices Jean Dieudonné dans l’Encyclopeadia Universalis Exemples La fonction ζ Produit Eulerien Prolongement analytique de ζ Répartition des nombres premiers Le théorème de la progression arithmétique La fonction ζ PGCD ϕ(n) Fonctions génératrices La fonction ζ

Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30)

premiers Nous avons choisi ce thème car les nombres premiers sont des nombres qui ont des propriétés uniques, et également parce que c'est un sujet que l'on ne connait pas encore entièrement. En effet, de nombreuses recherches sont encore effectués actuellement sur ces nombres. Introduction Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Par opposition, un nombre non nul produit de deux nombres entiers différents de un est

revenir en base 10.  On note  par exemple le nombre  en base 5 qui s'écrit :  en base 10.  Exemple :  Déterminer les entiers naturels  et  tels que   On doit écrire chacun de ces nombres en base 10 :    Après calcul, on obtient :   Sachant que  car la plus petite base écrite est 8, on cherche à déterminer  et . (2)  De (1) on tire la valeur de   D'après (2) on a l'encadrement de  :  qui, après résolution de ces inégalités donne .  On choisit donc . La valeur de  s'en déduit, soit   Remarque