Théorème des valeurs intermédiaires

propriété des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0 admet deux solutions sur cet intervalle. c)D’après les questions précédentes, la fonction f est donc positive sur [– 3 ; a], négative sur [a ; b] et positive sur [b ; 5]. 18  f est dérivable sur [1 ; 2] et f ’ (x) = 6x 2 – 6x pour 18 tout x, soit f ’ (x) = 6x (x – 1). On déduit les variations de f du signe de f ’(x). x 1 α 6x + x–1 + f ’ (x) + f (x) 0 –2 2 3 D’après le théorème des valeurs intermédiaires

connaissances pour l’étude d’une fonction Les questions ne sont pas nécessairement posés dans cet ordre, ni toutes posées lors d’un exercice. 1. Etude des limites aux bornes de l’ensemble de définition. ✓ Connaître les méthodes et les théorèmes à utiliser. ✓ Savoir en déduire l’existence d’éventuelles asymptotes. 2. Montrer l’existence d’une asymptote oblique d’équation [pic]. ✓ Montrer que[pic]. 3. Etudier la position de la courbe Cf par rapport à l’asymptote

29 septembre 2013 à 15:48 Continuité et dérivabilité d’une fonction Table des matières 1 Continuité d’une fonction 1.1 Limite finie en un point . . . . . . 1.2 Continuité en un point . . . . . . 1.3 Continuité des fonctions usuelles 1.4 Théorème du point fixe . . . . . . 1.5 Continuité et dérivabilité . . . . . 1.6 Continuité et équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

continue sur [-3 ; 3] : en effet, elle n'admet pas de limite en 1 (la courbe fait un "saut"). Néanmoins, elle est continue sur [-3 ; 1[ et sur ]1 ; 3]. · Toute fonction polynôme est continue sur . Théorème 1 : Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle. Théorème admis. Définition 2 : Soit ¦ une fonction définie au moins sur un intervalle I. L'image de I, notée ¦(I), est l'ensemble de tous les nombres ¦(x) où x Î I. Exemple : ¦(x) = x ; I = ]-1 ; 2] ; ¦(I) = [0

et sin sont continues sur |R. * la fonction racine carré est continue sur [0 ; +∞[. * Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle sur lesquelles elles sont définies. 2) Limites infinies en a : Si f(x) prend des valeurs aussi grandes que l’on veut dès que x est suffisamment proche de a, on dit que la limite de f en a est infinie. On note limx→afx= +∞ x = a o Rq : * on définit de même limx→afx= -∞ * on peut être amené à étudier

48. Théorème des valeurs intermédiaires Oral 1 Plan Introduction 1 1 Le théorème des valeurs intermédiaires 2 2 Le théorème de bijection 2.1 Le théorème de bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Extensions du théorème de la bijection . . . . . . . . . . 2.3 Recherche de solutions approchées de l’équation f (x) = k 2.3.1 La méthode par dichotomie . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La méthode par balayage . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 8 . . . . .

Ch 3 Fonctions : limites , continuité , dérivabilité (d’après « Faire le point » TS éd. Hachette) Comment appliquer le théorème des « valeurs intermédiaires » ? Méthode Le théorème dit « des valeurs intermédiaires » permet de démontrer qu’une fonction prend au moins une fois une valeur donnée , c’est à dire de justifier l’existence de solution(s) pour une équation du type f(x) = k . Il faut pour cela que la fonction soit continue

[pic]. Donc f tend vers [pic] en [pic]. • En b : f est continue à droite et à gauche, donc f est continue en b. • Pour [pic], on fait la même chose que le premier point. 2) Sommes, produits… Théorème : - La somme de deux fonctions continues est continue. - Le produit d’une fonction continue par un réel est continu. - Le produit de deux fonctions continues est continu. - L’inverse, lorsqu’il est défini, d’une fonction

fonction est croissante. On peut alors dresser le tableau de variations : signe de + 3. Le tableau de variations nous montre que la fonction est continue strictement croissante de R dans R, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires a une solution unique sur R. Si l'on prend on a alors : On en déduit donc . L'équation admet donc dans R une solution unique telle que . 4. La fonction est strictement croissante de R dans R, par conséquent quand on a ,

continuité d’une fonction Exercice 7 : étudier la continuité d’une fonction composée Exercice 8 : utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue sur un intervalle) Exercice 9 : utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue strictement monotone sur un intervalle) Exercice 10 : étudier la continuité d’une fonction en utilisant le théorème des gendarmes Exercice 11 : écrire un algorithme d’encadrement par dichotomie Accès direct au site www