Théorème du rang

p(p(x)) = p(x) = y. Prouvons maintenant que ker(p) et Im(p) sont en somme directe. Si y ∈ ker(p) ∩ Im(p), alors y = p(y) = 0. Pour prouver que les deux sous-espaces sont supplémentaires, il y a deux alternatives : – la première est d’utiliser le théorème du rang (le faire !). Cette méthode suppose néanmoins que E est de dimension finie, ce que l’on ne suppose pas à ce moment de l’exercice. – la seconde est de faire à la main ! Prenons donc x ∈ E, et posons y = x − p(x). Il est clair que x = p(x) + y,

Partie II. Commutant d’un endomorphisme nilpotent d’indice 2 1. On a u2 = 0 ⇔ ∀x ∈ E, u(u(x)) = 0 ⇔ ∀x ∈ E, u(x) ∈ Keru ⇔ Imu ⊂ Keru. n = dim(Keru) + dim(Imu) ≥ 2dim(Imu) = 2r, et donc, r≤ n . 2 D’après le théorème du rang, ′ ′ 2. 1 ère solution. (où l’on redémontre le théorème du rang). Soit (e1 , ..., er ) une base de G supplémentaire de Keru r dans E et soit (α1 , ...αr ) ∈ C . r ′ αi u(ei ) = 0 ⇒ u r ′ αi ei i=1 r r ′ αi ei ∈ Keru ∩ G ⇒ ′ αi ei = 0 ⇒ ∀i ∈ 1, r , αi = 0. i=1 =0⇒

u_1+⋯+x_n.u_n,(x_1,…,x_n)∈R^n où (u_1,…,u_n) sont des vecteurs. Donc Im(f)=Vect(u_1,…,u_n). Si f∈L(E) ,g∈L(E) alors : Im(g∘f)∈Im(g) Démonstration : v∈Im(g∘f)⟹∃u∈E / v=(g∘f)(u) donc v=g(f(u)) donc v=g(u^') (avec u^'=f(u)) donc v∈Im(g). Théorème du rang : Si f∈L(E,F) avec E de dimension finie alors : dim⁡E=dim⁡Ker(f)+dim⁡Im(f) dim⁡Im(f)=rg(f) donc dim⁡E=dim⁡Ker(f)+rg(f) Conséquences : f injective ⟺f est un automorphisme ; f surjective ⟺f est un automorphisme. Caractéristiques des

solutions du système homogène associé est ker fA . DEF : le rang r du système est le rang de A (donc de fA ). PROP : Si B ∈ / Im fA le système est incompatible, sinon, l’ensemble des solutions S est un translaté de ker fA . Sa dimension est l’ordre de l’indétermination ; elle vaut p − r (théorème du rang). D13 Remarque : le rang qui avait été défini au début du cours d’algèbre linéaire par le nombre d’équations principales est bien le rang défini ci-dessus. D14 3 

Hérédité : On montre que si la propriété est vraie pour un entier naturel k≥n0 (c’est l’hypothèse de récurrence) alors elle est vraie pour l’entier suivant k+1 Conclusion : Comme la propriété est vraie pour l’entier n0 et est héréditaire à partir de ce rang, on conclut que la propriété est vraie pour tout entier n≥n0 1. Exemple Soit la suite définie par u0=0 et un+1=2un+1. Calculer les premiers termes de cette suite et conjecturer l’expression de un en fonction de n. Prouver alors cette conjecture

croissante lorsque, On dit queest décroissante lorsque, On dit queest monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante. On dit queest constante lorsque, Note : Il peut arriver qu'une suite soit croissante (resp. décroissante) à partir d'un certain rang: pour tout entieron a(resp.) Remarques 2 Pour étudier le sens de variation d'une suitedéfinie par une relation explicite, on utile en général une des méthodes suivantes : 1. Sioùest une fonction définie sur, on peut étudier le sens de variation de

. . . . . . . . . . . . . . . . . page 6 1.1.2 Propriétés de ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 8 2 Les théorèmes de croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 12 3 Quelques applications des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algébre linéaire:compléments M.el kati 20 septembre 2013 Table des matières 1 Application linéaire et sous-espaces vectoriels 1.1 codimension : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rang d’une application linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 . . . . 4 4 4 4 6 3 Dualité 3.1 Hyperplan et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bases duales . . . . .

L ES SUITES I Rappels 1 Vocabulaire Définition 1 1. Une suite (u n ) est strictement croissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 > u n . 2. Une suite (u n ) est strictement décroissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 < u n . 3. Une suite (u n ) est stationnaire à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 = u n . 4. Une suite (u n ) est majorée s’il existe un nombre M tel que pour tout n ≥ 0 on a un ≤ M . 5. Une suite

2. . . Une suite Une suite croissante a pour minorant décroissante a pour majorant Limite finie d’une suite numérique Définition : Une suite admet pour limite le réel si tout intervalle ouvert contenant à partir d’un certain rang , c’est-à-dire que pour tout entier On écrit et on dit que la suite (aussi petit soit-il) contient tous les termes de la suite est convergente de limite , ou qu’elle converge vers . Lorsqu’une suite converge, sa limite est unique.