Théorème fondamental de l'algèbre

complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Argument et trigonométrie 3.1 Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Formule de Moivre, notation exponentielle 3.3 Racines n-ième

Cardan ». Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l’arithmétique des polynômes. Il y a une grande analogie entre l’arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec un théorème fondamental de l’algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitre K désignera l’un des corps Q, R ou C. 1. Définitions

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITION On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c (a,b et c réels avec a = 0). Remarque : Par abus de langage, l’expression ax2 + bx + c est aussi appelée trinôme du second degré. DÉFINITION On appelle racine du trinôme f , tout réel qui annule f . Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c,

Polynômes du second degré 1. Equation du 2nd degré a. La forme générale d'une équation du 2nd degré est : ax² +bx + c = 0 avec a # 0 exemples : 3x² - 5x + 2 = 0 où a = 3 ; b = - 5 et c = 2 - 4x² + 7 = 0 où a = - 4 ; b = 0 et c = 7 b. Le nombre de solutions d'une équation du 2nd degré dépend de la valeur d'un nombre T appelé discriminant et tel que T = b² - 4 ac. On distingue 3 cas en fonction de la valeur de T Si T > 0, l'équation a deux solutions distinctes : −b− ∆ −b+ ∆ et x 2 = x1

Fiche de révision : Équations 1. Quelques rappels Une équation est un problème qu’il faut résoudre. Pour cela, le but est de déterminer les valeurs que peuvent prendre les inconnues afin de satisfaire les conditions qui ont été posées par le problème. On note couramment la donnée inconnue par . La méthode consiste à isoler d’un côté de l’équation les termes contenant l’inconnue. Pour cela, on effectue de chaque côté de l’équation des opérations simples. Ensuite, on calcule tout ce qui est

ANALYSE TEMPORELLE DES PRINCIPAUX PROCESSUS 1 Signaux d’entrée Impulsion : Échelon : Rampe : xI = δ xE = u xR (t) = t u(t) ⇔ ⇔ ⇔ XI = 1 XE = 1/s XR = 1/s2 A. 1er ordre à constante de temps FONCTION DE TRANSFERT : H= K 1+ T s 1 s+ 1 T REPONSE IMPULSIONNELLE : YI = H × X I = K K = × 1+ T s T La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YI : y I (t ) = yI(t) K −T e u (t ) T t y I (0 ) = K T K T y I′(0 ) = − y I (∞ ) = 0 y I′(∞ ) = 0 Asymptote

nul, il existe un unique n ∈N et un unique (a0 ,..., an ) ∈ K n +1 avec an ≠ 0 tels que : P = a0 + a1 X + .... + an X n . fiche n° (suite) 10 Formule de Taylor ∀P ∈ K n [ X ] ∀α ∈ K P( X ) = ∑ P ( k ) (α ) ( X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout polynôme non constant admet au moins une racine dans C . Conséquence 1 : Un polynôme de degré n a au plus n racines distinctes. Conséquence 2 : Un polynôme P ∈ K n [ X ] qui s’annule au moins n + 1 a0 , …, an sont les

Résoudre ax2 + bx + c = 0 revient à résoudre l'équation : a ç ç x + ÷ - 2 ÷ = 0 qui s’écrit encore : çè 2a ø 4a ÷ è ø bö D æ (S) çx + ÷ = è 2a ø 4a 2 Dans cette dernière expression, tout est positif sauf D, ce qui nous permet d'énoncer le théorème suivant : Théorème 1 Si D < 0 : l’équation n’a pas de solution réelle. b . On dit que cette solution est double. 2a Si D > 0 : l’équation possède alors 2 solutions réelles : -b- D -b+ D x1 = et x2 = 2a 2a Si D = 0 : l’équation a une seule solution x0 = En

Fiche Révision n°1. Polynôme et équation du 2nd degré L'expression ax 2bxc est un polynôme du 2nd dregré. Pour résoudre l'équation du second degré ax 2bxc=0 où a, b et c sont des réels , a non nul, ou pour déterminer le signe de l'expression ax 2bxc , On calcule la quantité : Δ = b² – 4ac , (ce réel est appelé discriminant du trinôme ax 2bxc ). ax 2bxc=0 n'a pas de solution. Si Δ < 0 , l'équation n'a pas de racines réelles. L'équation On ne peut pas factoriser l'expression ax 2bxc

 LE SECOND DEGRE I- Fonctions polynômes de degré 2 1) Définition : Une fonction f définie sur  est une fonction polynôme de degré 2 s’il existe des nombres réels a (a  0), b et c tels que, pour tout nombre réel x : f (x) = ax² + bx + c. C’est la forme développée de f (x). Exemple : f (x) = 2x² + 8x + 16. f est une fonction polynôme de degré 2. 2) Forme canonique : Soit f (x) = ax² + bx + c avec a  0. f(x) peut s’écrire : f (x) = a (x - )² +  où  = - et  = f (). C’est la