Théorème

et ¦(0) = 0 è xø Montrer que : 1. ¦ est continue en 0. 2. ¦ est dérivable en 0. 3. ¦' n'est pas continue en 0. Exercice 4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique

l'aire de deux rectangles, de largeur (t - t0) et de hauteurs respectives 1 1 et : t t0 t - t0 t - t0  S(t) - S(t0)  t t0 On a donc : S (t ) - S (t 0 ) 1 1   t t - t0 t0 En passant à la limite lorsque t tend vers t0, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que l'accroissement moyen S (t ) - S (t 0 ) 1 admet une limite en t0 égal à , la fonction S est donc dérivable à droite en t0. t - t0 t0 Cas 2 : t  t0. Un raisonnement analogue à ci-dessus montre que S

composition peut évoluer dans l’année afin de préparer au mieux les écoles « parisiennes ». Les DL sont obligatoires pour tous. Les DL* ne sont obligatoires que pour les élèves du groupe *. 5. Les questions de cours en colle (élèves et colleurs) : Les théorèmes et autres propositions dont les démonstrations sont au programme de colle sont libellés par (QC) ou bien par (QC*). Les questions (QC*) peuvent être proposées aux élèves du groupe * mais pas aux autres élèves. En colle, il doit toujours y avoir en

solides. Savoir utiliser le théorème de Huygens permet de résoudre un bon nombre de problèmes en mécanique des solides et vibrations. Les chapitres cinq, six et sept traitent la cinématique du point matériel et la cinématique du solide indéformables ainsi que les contacts entre les solides. Le maniement des angles d’Euler et leur assimilation sont indispensables pour la compréhension de la mécanique des solides. Les chapitres huit et neuf décrivent la cinétique et les théorèmes fondamentaux de la dynamique

un littéral.La conjonction élémentaire vide (n = 0) s'écrit .  Une formule est en forme normal disjonctive ssi elle est de la forme C1 ∨ . . . ∨ Cn , n ≥ 0, où chaque Ci est une conjonction élémentaire. 4 Existence de la FND et de la FNC Théorème : Soit A une formule.  Il existe une formule A1 en FND telle que A1 ≡ A.  Il existe une formule A2 en FNC telle que A2 ≡ A. Lemme : Soit ∆ = {A1 , . . . , An } et F N C∆ = {E1 , . . . , En } où chaque Ei est une FNC de Ai . Pour chaque Ei

polynôme d ( x) est appelé le diviseur. Le polynôme q( x) est appelé le quotient de la division de p( x) par d ( x) et le polynôme r ( x) est appelé le reste de la division de p( x) par d ( x). Si r ( x) = 0, on dit que p( x) est divisible par d ( x). Théorème (sans démonstration) Les polynômes q( x) et r ( x) vérifiant (1) et (2) existent et sont uniques. Algorithme de division Marche à suivre 1) Ordonner le dividende et le diviseur selon les puissances décroissantes de la variable. 2) Diviser le premier

x d’un intervalle I, f (x) − (ax + b) > 0 alors C f est au dessus de D sur I. Si pour tout x d’un intervalle I, f (x) − (ax + b) < 0 alors C f est en dessous de D sur I. 1ES - Limites c P.Brachet - www.xm1math.net 5 7 PROPRIÉTÉ Théorèmes de comparaison en +∞ ou en −∞ Etant donné f , u et v trois fonctions définies sur un intervalle I de borne +∞ : • Si pour tout x de I, f (x) u(x) et si lim u(x) = +∞ alors on peut affirmer que lim f (x) = +∞. ( « une fonction supérieure x→+∞ x→+∞

tout démontrer. b) On peut discuter les fondements de la science et de la logique (Les géométries non-euclidiennes). c) Une rationalité protéiforme. Objectivable, certitude contestable, Scientifiquement : axiome, postulat, principe, science, théorème, Religieusement : conviction, croyance, dogme

(et par ailleurs esthétique) où ils sont absolument nécessaires à la bonne compréhension du sujet plutôt que dans un cadre où l'on peut très bien s'y soustraire sans avoir à trop en souffrir. Le lecteur retrouvera ici certains développements et théorèmes proposés ailleurs sur le site ceci dans le but de lui éviter d'avoir trop à "tourner les pages". Les objets fractals naturels sont dits "objets non déterministes", car le processus dynamique qui permet leur création varie lui-même avec le temps

sciences, et fut pensionné par la Russie. Il a fait faire à la science mathématique de grands pas, surtout au calcul différentiel et intégral; il appliqua l'analyse à la mécanique, à la construction des vaisseaux, et donna la démonstration de plusieurs théorèmes énoncés par Pierre de Fermat. Entre ses nombreux écrits, presque tous rédigés en latin, on doit remarquer : Mécanique exposée analytiquement, Saint-Pétersbourg, 1736 ; Introduction à l'analyse de l'infini, Lausanne, 1748 ; La Science navale