Théorème

≥ 0 ), on vérifie qu’elle est décroissante. idem avec une suite croissante et majorée. si on a des encadrements dans l’exercice, on tente le théorème des gendarmes. Comment peut-on calculer la limite d’une suite qui converge ? si un est explicite en fonction de n, on calcule directement la limite. si on a des encadrements dans l’exercice, on tente le théorème des gendarmes. Si la suite est de la forme un +1 = f ( un ) , avec f continue et ( un ) convergente, on cherche la limite de f parmi les éventuels

Grothendieck [Gro83] par la notion de localisateur fondamental. Les localisateurs fondamentaux sont des classes de flèches de la catégorie Cat des petites catégories vérifiant certains axiomes de descente (dont l’énoncé du théorème A de Quillen [Qui73] est un cas particulier). Le théorème principal de [Cis04] est que les équivalences faibles usuelles de Cat (appelées ici ∞-équivalences) forment le localisateur fondamental minimal. Or toute théorie cohomologique (en un sens adéquat) sur Cat définit canoniquement

engendré par la famille F=(e⃗ i)1≤i≤n, le sous-espace vectoriel engendré par la partie {e⃗ 1,…,e⃗ n}. On le note VectF, Vect(e⃗ i)1≤i≤n ou Vect(e⃗ 1,…,e⃗ n). ExempleLe sous-espace vectoriel engendré par la famille vide est l'espace nul {0⃗ }. Théorème Si (e⃗ 1,…,e⃗ n) est une famille de vecteurs de E alors Vect(e⃗ 1,…,e⃗ n) est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs e⃗ 1,…,e⃗ n i.e. : Vect(e⃗ 1,…,e⃗ n)={∑i=1nλie⃗ i/λ1,…,λn∈K}. [Preuve...] ExempleCas n=1, Vect(u⃗ )={λ.u⃗ /λ∈K }=K 

selon les matières, de : • l’expliquer avec ses propres mots, • l’appliquer, • réutiliser les informations les plus importantes dans d’autres matières, • retenir par cœur certaines informations incontournables comme les mots de vocabulaire, les théorèmes, les règles de grammaire, les cartes, etc. Apprendre : recettes miracles ou bonnes habitudes ? Pour être efficace dans l’apprentissage de tes leçons, pas de secret Prends le plus tôt possible de bonnes habitudes de travail… • Sois actif voire

COLLèGE Savoir une leçon, c’est avant tout la comprendre pour être capable, selon les matières, de : • l’expliquer avec ses propres mots, • l’appliquer, • retenir par cœur certaines informations incontournables comme les mots de vocabulaire, les théorèmes, les règles de grammaire, les cartes, etc. Apprendre : recettes miracles ou bonnes habitudes ? Pour être efficace dans l’apprentissage de tes leçons, pas de secret Prends le plus tôt possible de bonnes habitudes de travail… • Pose-toi plein de

dans l'absolu mais relativement à des énoncés, des suppositions.), pouvant porter les noms de √théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une théorie.), proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui

+∞[ par f (x) = xe− 2 . 4 a. La fonction exponentielle est positive sur [0 ; +∞[ donc, pour tout x de [0 ; +∞[, f (x) 0 . b. On en déduit que, pour tout x b. Pour tout x 1 x −x x e 2 . On pose X = . lim X = +∞. 22 2 x→+∞ Par conséquent, d’après le théorème sur la composition des limites, on a : 1 X 1 −X X e = lim . lim f (x) = lim x→+∞ X →+∞ 2 e X X →+∞ 2 x X e On a vu dans la question 1. que lim = +∞ donc lim X = 0. x→+∞ x X →+∞ e Par conséquent : lim f (x) = 0. La courbe C admet donc une asymptote

Les limites suivantes sont fournies dans le cours. Elles fournissent toutes un nombre dérivé. sin(x) =1 x→0 x lim cos(x) − 1 =0 x→0 x lim ex − 1 =1 x→0 x lim lim x→1 ln(1 + h) ln(x) = 1 ou lim = 1. h→0 x−1 h Théorèmes de croissances comparées ex • lim = +∞ et lim xex = 0. x→+∞ x x→−∞ ln(x) • lim = 0. x→+∞ x Quelques techniques usuelles pour lever des indéterminations Mise en facteur du terme prépondérant Exemple 1. Trouver lim x − 1 − ex . x→+∞

géométrie, c’est la méthode axiomatique utilisée depuis Euclide, méthode par laquelle on peut démontrer des théorèmes en utilisant uniquement la logique et des axiomes de base. Un exemple célèbre est le fameux : Par deux points, on ne peut mener qu’une droite. Ce qui est remarquable, c’est que dans la démonstration, on se passe de toute vérification par l’expérience. Dans le théorème qui montre que les trois angles du triangle font deux droits, une fois que nous disposons de la démonstration

considère que, pour être recevable ou pour être réellement scientifique, une théorie doit pouvoir être réfutée. Si elle irréfutable, ce n’est pas une certitude scientifique, c’est un dogmatisme. Les mathématiques sont exclues de ce raisonnement, car ses théorèmes ne peuvent être réfutés, sans pour autant être dogmatiques ; les mathématiques sont de l’ordre de la vérité absolue puisqu’elles ne comporteraient aucune relation à l’expérience. Plans possible : I) La vérité est relative à celui qui l'affirme