Théorème

l'échantillon est de petite taille). Notons X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille n, associe sa moyenne ( X s'appelle encore la distribution des moyennes des échantillons). Que peut-on dire de cette variable aléatoire X ? Théorème Central Limite - Version 1 - (Version faible) Contexte : variable aléatoire X qui suit une loi normale sur la population X Ê N(m ; s) On prélève, au hasard, un échantillon (tirages avec remise(1) ou assimilés) de taille n de moyenne X . Alors la

tangente 11.4 Relations trigonométriques D. LES MATRICES 12. Définition d’un matrice 12.1 Les déterminants 12.2 Propriétés des déterminants 13. Range d’une matrice 13.1 Mineur d’un déterminant 13.2 Rang d’un matrice 14. l’innover d’une matrice 14.1 Théorème 14.2 matrice des cofacteurs E. Systèmes d’équations linéaires 15. Système de deux équations du 1ère des à deux inconnues 16. Système de 3 équations à 3 inconnues 16. 1 Système linéaire de équations à inconnues. 16.2. Représentation de la méthode

ce qui contredit ϕ(u) = 1. Absurde. Exercice 8 : [énoncé] a) Soit f solution. Formons A = {x ∈ [0, 1] /f (x) = x} et montrons que A est un segment. Par une application classique du théorème des valeurs intermédiaires A = ∅. Pour a < b ∈ A et c ∈ [a, b], on a c compris entre f (a) et f (b) et donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe t ∈ [a, b] tel que c = f (t). On a alors f (c) = f (f (t)) = f (t) = c donc c ∈ A. Ainsi a < b ∈ A ⇒ [a, b] ⊂ A. Ainsi A est un intervalle. De plus

rang suivant. n 2 Par conséquent, pour tout entier naturel n, un ≤   2 3 n 2 2 -1 < < 1 donc lim   2 = 0 3 n → -∞ 3 De plus un > 0. D’après le théorème des gendarmes lim un = 0. bn = n → +∞ c. un = |zn| = |an + ibn| = an2 + bn2 ≥ an2 donc un ≥ |an| > 0 Or lim un = 0. n → +∞ D’après le théorème des gendarmes lim n → +∞ |an| = 0 et lim n → +∞ an = 0 Venez retrouver les sujets et corrigés du brevet et du bac sur www.cours-sowan.fr 5/5 Antilles

ALGEBRIQUE 1.1 Postulats et théorèmes de l'algèbre de Boole Opérations sur la même variable a + a = a a . a = a Commutativité a + b = b + a a . b = b . a Associativité a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c a . ( b . c ) = ( a . b ) . c = a . b . c Distributivité a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c ) a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c ) Eléments neutres 0 + b = b a . 1 = a Eléments absorbants 1 + b = 1 a . 0 = 0 Complémentarité a + = 1 a . = 0 Loi d’involution = a Théorème de Morgan =. =+ Absorption

convexe – Si tous les Si sont finis, le graphe de M R est ferm´, i.e. si σn → σ, e τn → τ et τn ∈ M R(σn) alors τ ∈ M R(σ). 4. COURSE AU BREVET 7 On rappelle le th´or`me d’existence de point fixe d’une correspone e dance de Kakutani : ´ ` Theoreme 18 (de Kakutani). Soit X un compact convexe non vide n de R , et F une correspondance de X vers X telle que : – ∀x ∈ X, F (x) est convexe et non vide ; – Le graphe de F est ferm´. e Alors F admet un point fixe, i.e. il existe x ∈ X tel que x ∈ F (x)

: · x Î Df, c'est-à-dire x Î [–3 ; +¥[ · ¦(x) Î Dg, c'est-à-dire x + 3 ¹ 1, soit x + 3 ¹ 1, x ¹ – 2. En conclusion, l'ensemble de définition de g o ¦ est [–3 ; –2[ È ]–2 ; +¥[. NOTATION On note ¦(I) l'ensemble des valeurs ¦(x) où x Î I. THÉORÈME : sens de variation de g o f Si ¦ est croissante sur un intervalle I et si g est croissante sur l'intervalle ¦(I) alors g o ¦ est croissante sur I. Si ¦ est décroissante sur un intervalle I et si g est décroissante sur l'intervalle ¦(I) alors g o¦

0 0 1 ¶ ; V = μ 1 1 0 1 ¶ . 20) Par le théorème du rang, H est un hyperplan. 21a) Par l’absurde : si F ½ H on a uF = vF et donc ÂuF = ÂvF . Mais ÂuF jÂu et ÂvF jÂv, Toute racine de ÂuF dans C est racine commune à Âu et Âv (et il existe une telle racine car d± ¡ ÂuF ¢ = dimF ) > 0 . Donc F 6½ H. b) Soit x 2 F n H: alors H et x engendrent E puisque H est un hyperplan et x =2 H. Cela signi…e que F + H = E. On utilise deux fois le théorème de la base incomplète en partant d’une base de

statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 GéoMéTrie 12 Le théorème de thalès et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 angles inscrits - Polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 géométrie dans

cette inégalité à X = x n ∈ ℝ + , il vient ln(1 + x n ) ≤ x n 3c. Comme l’intégration conserve l’ordre, on a par intégration I n ≤ ∫0 x n dx ⇔ I n ≤ [ 1 x n +1 1 1 ]0 ⇔ I n ≤ . n +1 n +1 n →+∞ La suite étant déjà convergente, minorée par 0 le théorème des gendarmes nous permet de conclure que lim I n = 0 . D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/ EXERCICE 2 1. La droite D est parallèle au plan P si son vecteur directeur (à D) est orthogonal au vecteur normal de P. 1  1  1  1 