Théorèmes de point fixe

entier fixé et f : R+ = [0, +∞[−→ R la fonction définie par la formule suivante : f (x) = 1. 2. 1 + xn , x ≥ 0. (1 + x)n (a) Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f (x) pour x ≥ 0. (b) En étudiant le signe de f (x) sur R+ , montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on déterminera. (a) En déduire l’inégalité suivante : (1 + x)n ≤ 2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ . (b) Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a (x + y)n ≤ 2n−1 (xn + yn ). Correction Vidéo [000739] 1 2 Théorème de Rolle

L’estimateur T de θ est dit convergent en probabilité si : ∀ǫ > 0, n→+∞ lim P (|T − θ| < ǫ) = 1. Théorème 1 Tout estimateur sans biais ou asymptotiquement sans biais tel que limn→+∞ Var (T ) = 0 est convergent en probabilité vers θ. ǫ Preuve Utiliser l’implication |T − IE (T )| < 2 ⇒ |T − θ| < ǫ et l’inégalité de BienayméTchebicheff : ∀ǫ > 0, P (|T − IE (T )| < ε) Var(T ) . ǫ2 6 Théorème 2 Sous les hypothèses de régularité suivantes : H1 : Le support de la densité D = {x / f (x; θ) > 0}

totalité du programme de terminale ES est reprise et bien sûr complétée. Les points les plus délicats du programme (recherche de limites, suites récurrentes, séries, intégrales généralisées) sont exposés progressivement et illustrés par de nombreux exemples. Pour l’algèbre linéaire, la difficulté est d’une part technique (recherche des valeurs propres et vecteurs propres), et d’autre part théorique (utilisation des théorèmes abstraits du cours dans des situations diverses). On s’est efforcé de bien

… Notons qu’une suite ainsi définie par sa relation de récurrence et son terme initial est unique. Par contre, si l’on se donne seulement la relation de récurrence sans préciser le terme initial, il va exister une infinité de suites, selon le point de départ que l’on prend. Remarque : la relation de récurrence peut être plus complexe, un terme pouvant dépendre non seulement de celui qui le précède mais de plusieurs termes qui le précèdent. Par exemple, prenons la suite dite de Fibonacci,

d’une instance de la forme minimiser/maximiser f (x) sous les conditions gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, . . . , m} hj (x) = 0 ∀j ∈ {1, . . . , m } avec f : Rp → R une fonction objectif et gi , hj : Rp → R des fonctions de contraintes. L’ensemble des points {x ∈ Rp | gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, . . . , m}, hj (x) = 0 ∀j ∈ {1, . . . , m }} est appelé ensemble de candidats. S’il est non vide, on appelle solution du problème d’optimisation tout minimum/maximum global de la fonction f restreinte à cet ensemble

Normes dans Ên . . . . . . . . . . . 1.2.3 Distance associée à une norme . . . 1.2.4 Ouvert, fermé, voisinage . . . . . . . 1.2.5 Limite, adhérence et ouverture . . . 1.3 Limite et continuité d’une fonction . . . . . 1.3.1 Limite d’une fonction en un point . . 1.3.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Dérivées partielles et fonctions de classe C 1 1.5 Notion de différentielle . . . . . . . . . . . . 1.6 Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Cas des fonctions numériques . . . .

n’est pas fini. 1.1.3 Théorème : Soit X un ensemble non vide, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) X est infini.  (ii) ∃ X0 ⊊ X, ∃ ψ : X0 → X bijective. 1.1.4 Définition : Un ensemble X non vide est dit dénombrable lorsque ∃ φ : ℕ → X bijective. X = φ(ℕ) = {φ(i), i ∈ ℕ}. Si X est dénombrable, alors X est infini (car ℕ est infini). ℕ est dénombrable.  1.1.5 Définition : Un ensemble non vide est dit au plus dénombrable lorsqu’il est fini ou dénombrable. 1.1.6 Théorème : Soit X un ensemble

Index alphabétique 405 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. VII Pour bien utiliser cet ouvrage La page d’entrée de chapitre Elle propose un plan du chapitre, les thèmes abordés dans les exercices, ainsi qu’un rappel des points essentiels du cours pour la résolution des exercices. Les méthodes à retenir Cette rubrique constitue une synthèse des principales méthodes à connaître,détaillées étape par étape, et indique les exercices auxquels elles se rapportent. − VIII

x ∗ est la seule racine dans cet intervalle. On rappelle le théorème des valeures intermédiaires : théorème des valeures intermédiaires Soit f une fonction continue dans [a, b], et soit y ∈ [min(f (a), f (b)), max(f (a), f (b))], alors il existe x ∈ [a, b] tel que f (x) = y . supposons qu’il existe un intervalle [a, b] tel que f (a)f (b) < 0, donc d’apr` le thérème des valeurs intermédiaires, il existe un s ¯ tel que f (x ) = 0. ¯ point x Cours d’Analyse Numérique, Chapitre 3 : Résolution Numérique

de réels :  = {(a, b) Î  ´ } Les éléments de  sont appelés des nombres complexes. Comme il n'est pas pratique de travailler avec des couples (notations un peu lourdes), nous allons voir (théorème 2.2.) que l'on peut noter les éléments de  de manière commode et faciliter ainsi les calculs. 2.2. Théorème L'ensemble  peut être muni de deux lois + et ´ qui prolongent les lois + et ´ de . L'ensemble  contient "une copie" de . Il existe dans  un élément, noté i, tel que i 2 = -1. Tout élément