Théorèmes de point fixe

. . 78 3.5 Fonctions cosinus hyperbolique et cosinus hyperboliques généralisées . . . 78 viIntroduction Encore de nos jours, et probablement plus que jamais, les mathématiques évo- luent à pas de géant. En effet, à chaque année, des milliers de théorèmes apparaissent dans les revues spécialisées. Ces nouveaux résultats permettent aux mathématiciens d’explorer de nouvelles avenues qui étaient encore inconnues peu de temps avant. Ainsi, de nouvelles théories sont développées et les enchevêtrements

8 2.1.3.2. L’organisation d’un tournoi 8 2.1.3.3. Application géométrique 9 2.2. Chaînes et cycles eulériens 10 2.2.1. Exemple du trait de crayon unique 10 2.2.2. Notions de chaîne eulérienne et de cycle eulérien 10 2.2.3. Théorèmes d’Euler 12 2.2.4. Les sept ponts de Königsberg 14 2.2.5. Recherche d’une chaîne eulérienne à l’aide d’un algorithme 15 2.2.6. Modification du graphe afin d’obtenir un cycle eulérien 17 2.3. Matrice associée à un graphe 17 2.3.1. Exemple

devra être mise en mode examen au début de l’épreuve. Exercice 1 : 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte. Recopier sur la copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci. AUCUNE JUSTIFICATION n’est demandée. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point. 1. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = ( x2 −2x −1

vision moderne du concept d’infini en mathématiques, a présenté ses théories, on l’a d’abord pris pour fou. Cependant, les mathématiques contemporaines ont réussi à maîtriser et à comprendre l’infini : nous tenterons donc de donner un aperçu de leur point de vue, en évoquant au passage les considérations d’ordre philosophique qu’il soulève. Après un survol du « fini » et de l’infini « inachevé » (pré-Cantorien), nous tenterons de présenter les deux sortes d’infini qu’on trouve en théorie des ensembles

longueur finie (parfois infinie). Etudions l’équation du mouvement de la corde, on déplace cette corde pour qu’elle prenne la forme puis on la relâche. On cherche à détermine un segment la position d’un point de la corde après secondes, on note T la tension de laquelle soumise la corde, on considère en un point d’abscisse de longueur . ou est la densité linéique La masse du segment est donné par de la masse de la corde s’exprime en , pour le cas général d’une corde non homogène la masse linéique

principe de fonctionnement des machines électriques tournantes à courants alternatifs. Nous allons nous intéresser à la façon de produire de tels champs à partir d'un courant alternatif, puis à partir d'un système triphasé équilibré de courants. I.1. Théorème de Leblanc. Considérons un bobinage d'axe Ox parcouru par un courant i( t ) = I. 2 . cos(ω.t ) . Ce r r dispositif permet de créer un champ sur l'axe Ox défini par H = H m . cos(ω.t ).u x Considérons deux champs H+ et H- de norme constante Hm/2

ces différents pics.) I.6 Pouvoir séparateur d'un objectif - Critère de Rayleigh Lorsque l'on éclaire une lentille diaphragmée par une fente diffractante F de largeur d, chaque point image est remplacé par une figure de diffraction qui se ramène à une tache centrale de demi-largeur angulaire λ/d. Les deux points sources seront "vus" séparés par l'œil (ou un autre récepteur) à travers l'objectif diaphragmé si leurs images respectives sont suffisamment séparées. On appelle "pouvoir séparateur"

1.2 4 4 Applications linéaires 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.4 CHAPITRE 2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 2.1 2.2 2.3 Familles libres, familles liées, familles génératrices Sommes, sommes directes Théorème d’isomorphisme Interpolation de Lagrange Théorème du rang 9 9 10 11 Dualité 13 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Généralités Hyperplans Bases duales 13 14 16 Calcul matriciel 22 1.4.1 1.4.2 Trace Blocs 22 27 Déterminants 35 Le groupe symétrique 36 2.1.1 2.1.2 2.1.3 36 36

(Pourquoi ? Quelles raisons ?). Pour qu’il y ai croissance il faut organiser les échanges, elle passe par les échanges. Pour les organiser, il faudra voir les théories du commerce international, les organisations (GATT, OMC) et système monétaire (SMI fixe, SMI flottant depuis 1967). Il faut donc que chaque pays se spécialise pour favoriser les échanges. Doc 1 page 31: L’histoire de l’ouverture économique L’échange international se justifie par l’intérêt que peuvent y trouver les agents économiques

découle du Taux Marginal de Substitution entre deux biens x et y qui veut dire la quantité de bien y que doit sacrifier le consommateur pour augmenter la consommation du bien x sans changer l’utilité totale. Ce dernier varie à chaque point de la courbe d’indifférence ainsi il est décroissant le long de la courbe. II. L’équilibre du consommateur et l’optimisation de ses choix : 1) Les contraintes faces au choix du consommateur : Le consommateur