Théorèmes de Sylow

entier n, et retournant la valeur de dn . Problème 2 – Théorème de Burnside Le but de ce problème est l’étude des produits semi-directs de groupes, et l’étude de conditions pour qu’un groupe soit un produit semu-direct de deux sous-groupes donnés. Dans la dernière partie, on montre un théorème de Burnside, montrant que, sous certains conditions, un groupe G peut être décrit comme produit-semi-direct par un de ses p-sousgroupes de Sylow. Tous les groupes considérés dans ce problème sont considérés

THÉORÈME DE CAYLEY Théorème Tout groupe G, d'ordre n, est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn. Démonstration : Nous allons montrer que G est isomorphe à un sous-groupe de Bij (G) (groupe des bijections de G dans lui même) On note multiplicativement la loi de G. 1. Soit g ∈ G. On considère l'application suivante : ϕg : G x →G gx   (On dit que l'on a fait opérer G sur lui même par "translation à gauche") ϕg n'est pas un morphisme de groupes. Cependant ϕg est bijective

Universit´ e Lille I Alg`ebre et th´eorie des nombres 2009/10 Math308 Fiche n◦ 4: Th´eor`emes de Sylow Exercice 1 Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que si H et G/H sont des p-groupes, il en est de mˆeme de G. Exercice 2 Soit G un p-groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que H ∩ Z(G) n’est pas r´eduit `a l’´el´ement neutre. En d´eduire que le centre Z(G) d’un p-groupe est non trivial. Exercice 3 Soit G un p-groupe d’ordre pr . (a) Montrer que pour

les orbites de (G/H)g pour cette opération. |H| Soit i compris entre 1 et n. Card Ωi = |Hx H | où xi H est un représentant de Ωi donc i le cardinal de Ωi divise l'ordre de H. H est un sous-groupe de G donc l'ordre de H divise l'ordre de G par le Théorème de Lagrange. Ainsi, le cardinal de Ωi divise p. p étant premier, le cardinal de Ωi vaut soit 1 soit p Comme les orbites forment une partition de (G/H)g et Card (G/H)g = [G : H] =p, on a p= n Card Ωi . i=1 Si il existe un entier i compris entre 1

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Mesure et intégration (3-0-6) Objectifs : développer l’intégrale de Lebesgue et obtenir ses propriétés. Contenu : théorie abstraite de l’intégration. Mesures de Borel et théorème de représentation de Riesz. Espaces Lp. Mesures complexes et théorème de Radon-Niko­ dym. Intégration sur les espaces produits et le théorème de Fubini. Différentiation. MAT 714 3 cr. Sujets choisis en algèbre (3-0-6) 3 cr. Objectif : se familiariser avec un domaine de l’algèbre privilégié par des travaux

E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 3 A.2 Ensembles finis, monoïdes

mathématiques, en 1999, lors de son cours à la faculté. Aucun de ses étudiants ne disposait malheureusement d’un appareil photo lors de l’incident, mais les journaux se sont largement fait l’écho de leurs témoignages. Il était en train de démontrer un théorème particulièrement ardu quand il décolla lentement du sol pour se stabiliser à une hauteur d’environ un mètre cinquante. Il était tellement absorbé par son exposé qu’il ne s’en rendit pas compte : le phénomène dura deux ou trois minutes, après quoi