Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

choix On ne peut rien d´montrer si on ne part pas d’une hypoth`se de d´part; depuis e e e Euclide, les math´maticiens utilisent tous plus ou moins une m´thode axiomae e tique, c’est ` dire qu’il partent d’un ensemble d’axiomes qu’ils jugent intuitivea ment ´vident et se donnent ensuite un ensemble de r`gles de d´monstration e e e (les logiciens disent r`gles d’inf´rences) qui leur permettent de d´montrer de e e e nouveaux th´or`mes ` partir de ces axiomes. Cela ne signifie pas qu’ils ont e e a 1

l’axiomatisation de la théorie des ensembles de Georg Cantor ne change en rien la cohérence de la théorie. Rappelons dans un premier temps ce que sont ces deux « problèmes » et les questions qu’ils soulevèrent à l’époque du programme de David Hilbert. L’axiome du choix peut s’énoncer comme suit ; quelle que soit la classe d’ensembles non vides et disjoints (en nombre finis ou non) il existe une fonction de choix, un algorithme permettant d’extraire un élément unique dans chaque ensemble afin de constituer

. . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 12 14 15 2 Le Th´or`me de Baire et l’axiome du choix d´pendant e e e 3 Fonctions continues nulle part d´rivable e 19 3.1 Ensembles maigres et th´or`me de Baire . . . . . . . . . . . . 19 e e 3.2 Un exemple connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Introduction Ce travail de fin de troisi`me ann´e de baccalaur´at en sciences math´me e e e atiques s’articule

toute la théorie s’écroule. De plus, une théorie ne rend pas forcément compte de toutes les vérités. Et les mathématiques, source de vérité immuable pour Descartes, n’échappent pas à cette réalité. Ainsi le théorème d’incomplétude de Gödel stipule que dans toute axiomatique raisonnable qui ne contient que les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent être démontrées alors qu’elles sont vraies. Prenons l’exemple de l’axiome du choix, indémontrable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

ordre. Tout ensemble non vide X d'entiers naturels comporte un plus petit élément. Démonstration : Si X n'avait pas de plus petit élément, alors pour chaque élément de X, il y en aurait un autre, strictement plus petit. Partant d'un élément donné a appartenant à X, on pourrait fabriquer ainsi une suite strictement décroissante : x0 = a, x1 < x0, x2 < x1, etc, infinie, composée d'éléments de X, ce qui contredit le principe précédent. Troisièmement : Le principe de récurrence. Soit X un ensemble d'entiers

Montesquieu et Tocqueville. Semestre 2 - La question de l’obéissance ordaire (II) : Sentiment d’injustice et théorie de la reconnaissance. Repartant de la question posée au premier semestre, on se demandera si l’on ne trouve pas des points d’appui utiles chez des auteurs comme J. SHKLAR (Visages de l'injustice (1990), trad. J. Mouchard, Belfort, Circé, 2002), A. HONNETH (Théorie de la reconnaissance (1992), trad. P. Rusch, Paris, Cerf, 2000), voire même, plus récemment Emmanuel RENAULT

Hippocrate de Chios cherchant à résoudre le problème mis en place par Pythagore découvre la quadrature des lunules et perfectionne le principe de la démonstration en introduisant la notion de problèmes équivalents. Eudoxe de Cnide travaille sur la théorie des proportions acceptant ainsi de manipuler des rapports de nombres irrationnels. Il est probablement à l'origine de la formalisation de la méthode d'exhaustion pour le calcul par approximations successives d'aires et de volumes. Théétète travaille

reporter au programme officiel présent sur le site de l’Union des Professeurs de Spéciales , qui seul fait autorité. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 1 Table des matières A Structures fondamentales A.1 Éléments de théorie des ensembles . A.2 Ensembles finis, monoïdes . . . . . A.3 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Arithmétique . . . . . . . . . . . . A.6 Le corps des nombres réels R . . . . A.7 Le corps des nombres complexes C . .

notre sélection de sujets de sorte que le livre tout entier soit accessible aux lecteurs dont les connaissances mathématiques se restreignent à un premier cycle universitaire. Un peu d’algèbre linéaire, quelques notions fondamentales d’analyse et de théorie des nombres, et une bonne maîtrise des concepts élémentaire de mathématiques discrètes devraient suffire pour comprendre ce livre dans son intégralité et en tirer profit. Nous sommes extrêmement reconnaissants envers certaines personnes qui nous ont