Théorie des ensembles

automate fini D´ f. II.1 (Automate fini) Soit l’alphabet X, un ensemble de symboles, soit le symbole repr´ sentant e e la transition arbitraire ( ∈ X), soit Λ le symbole repr´ sentant le mot vide (Λ ∈ X), soit X l’ene semble des mots compos´ s de symboles de X (Λ ∈ X ); un automate fini sur X est un quintuplet e 4 A = (Q,X,I,T,γ) compos´ de : e – Un ensemble fini d’´ tats : Q ; e – Un ensemble d’´ tats initiaux : I ⊆ Q ; e – Un ensemble d’´ tats terminaux : T ⊆ Q ; e – Une relation de transition

discr` etes et ` a densit´ e Licence de Math´ematiques 2`eme ann´ee Jean-Christophe Breton Universit´e de La Rochelle Janvier–Mai 2010 version du 12 mai 2010 2 Table des mati` eres 1 Langages ensembliste et probabiliste 1.1 Op´erations entre ensembles . . . . . . 1.2 Vocabulaire probabiliste . . . . . . . 1.3 D´enombrement . . . . . . . . . . . . 1.4 Rappel sur les s´eries . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 6 8 2 Mesures de probabilit´ e 2.1 Espace de cardinal fini . . . . . . . . . . . . . .

laissée au candidat pendant son temps de préparation. * - Peuvent être annexés à la liste, les documents (3 à 5 par question) ou ensemble de documents étudiés en classe, sans annotation. Le candidat peut être invité à les utiliser en appoint de son exposé et non comme objet d'un commentaire. * - L'examinateur peut éventuellement proposer un document ou un ensemble de documents correspondant à une question étudiée. Dans ce cas, le ou les documents sont utilisés à titre d'aide, à l'appui de l'exposé

1.1 D´nombrement et notations e Op´rations sur les ensembles e Soit A et B deux ensembles. Nous notons A∪B la r´union de ces ensembles, A∩B leur intersection, e A × B le produit cart´sien, c’est ` dire {(x, y) | x ∈ A et y ∈ B}. La diff´rence ensembliste de A et B e a e se note A − B ou A\B. Il s’agit de {x ∈ A | x ∈ B}. Finalement P(A) est l’ensemble des parties de / A, c’est-`-dire un ensemble dont les ´l´ments sont les sous-ensembles (=parties) de A. a ee La r´union et l’intersection se g´n´ralisent

plusieurs 1 à plusieurs De N à plusieurs (N ou plus) Soit N, soit M, Soit P Tout écrivain a écrit au moins une œuvre : Contrainte sur association : Contrainte ensembliste Ce type de contrainte permet de modéliser le cas où un ensemble d’association est inclue dans un autre ensemble d’associations. Exemple : les personnes lauréates d’un prix sont obligatoirement choisies parmi celles qui sont nominées pour ce prix. Contrainte d’ordonnancement {Ordonné} : Ce type de contrainte permet de modéliser le cas

MT18 Logique et théorie des ensembles Rappels : ℕ : ensemble des entiers naturels = { 0 , 1 , 2 , … } A part 0, un nombre n’a pas d’opposé dans ℕ * = − {0} : ensemble des entiers relatifs = { …, – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , … } = { n, -n ; n ∈ ℕ } A part -1, 1, un entier relatif n’a pas d’inverse dans = − {0} p p p * : ensemble des nombres rationnels = { ;( p, q ) ∈ × } avec 1 = 2 ⇔ p1.q2 = p2 .q1 } q q1 q2 * * = − {0} Mais π , * + 2,e∉ * : ensemble des nombres réels

l’axiomatisation de la théorie des ensembles de Georg Cantor ne change en rien la cohérence de la théorie. Rappelons dans un premier temps ce que sont ces deux « problèmes » et les questions qu’ils soulevèrent à l’époque du programme de David Hilbert. L’axiome du choix peut s’énoncer comme suit ; quelle que soit la classe d’ensembles non vides et disjoints (en nombre finis ou non) il existe une fonction de choix, un algorithme permettant d’extraire un élément unique dans chaque ensemble afin de constituer

choix On ne peut rien d´montrer si on ne part pas d’une hypoth`se de d´part; depuis e e e Euclide, les math´maticiens utilisent tous plus ou moins une m´thode axiomae e tique, c’est ` dire qu’il partent d’un ensemble d’axiomes qu’ils jugent intuitivea ment ´vident et se donnent ensuite un ensemble de r`gles de d´monstration e e e (les logiciens disent r`gles d’inf´rences) qui leur permettent de d´montrer de e e e nouveaux th´or`mes ` partir de ces axiomes. Cela ne signifie pas qu’ils ont e e a 1

. . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 12 14 15 2 Le Th´or`me de Baire et l’axiome du choix d´pendant e e e 3 Fonctions continues nulle part d´rivable e 19 3.1 Ensembles maigres et th´or`me de Baire . . . . . . . . . . . . 19 e e 3.2 Un exemple connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Introduction Ce travail de fin de troisi`me ann´e de baccalaur´at en sciences math´me e e e atiques s’articule

Introduction Rappels en théorie des ensembles Éléments de calcul des probabilités Indépendance statistique Techniques quantitatives d’économie et de gestion 2 Pauline Chauvin pauline.chauvin@u-paris.fr Faculté de Droit, d’Économie et de Gestion Université de Paris 1 / 63Introduction Rappels en théorie des ensembles Éléments de calcul des probabilités Indépendance statistique Introduction Les statistiques : L’art et la science de collecter, analyser, présenter et interpréter des données. 2 / 63Introduction