Thomas Bayes

d'après des chiffres donnés par Jules César dans sa conquête des gaules (De bello Gallico, v.). Les statistiques mathématiques s'appuyaient sur les premiers travaux concernant les probabilités développés par Fermat et Pascal. C'est probablement chez Thomas Bayes que l'on vit apparaître un embryon de statistique inférentielle. Condorcet et Laplace parlaient encore de probabilité là où l'on parlerait aujourd'hui de fréquence. Mais c'est à Adolphe Quetelet que l'on doit l'idée que la statistique est une science

qu’elle ait le défaut A. | |Ne soyez pas rebuté pat le côté irréel d’une telle question, les probabilités conditionnelles ouvrent un champ particulièrement fécond et opérationnel aux| |statistiques (notamment par le théorème de Bayes). | |La réponse à la question est 0,16 / 0,34 = 8 / 17.

les probabilités d'appartenir aux classes C1, C2, C3 et C4? Réponse : Dans cette question on a à calculer la probabilité d’appartenir à une classe sachant que ?̅ se réalise ( Aucun accident n’est déclaré ). On applique ainsi le théorème de Bayes : ? ? � 1�� � = ? � ? � ?� ? � × ?(?1 ) 30% × 0.97 1 = = 33.14% �� 0.878 ?� ? ? ? � 3�� � = ? � ? � ?� ? � × ?(?3 ) 40% × 0.83 3 = = 37.81% �� 0.878 ?� ? ? ? � 2�� � = ? � ? � ?� ? � × ?(?2 ) 20% × 0.95 2 =

théorème de Bayes Il est essentiel de bien réaliser la différence entre événements incompatibles : pHA › BL = 0, et événements indépendants : pHA › BL = pHAL µ pHBL. Considérons un événement B dont la réalisation dépend de l'intervention de l'une des causes : A1 , ..., Ai , ..., An . Soit pHB ê Ai L la probabilité conditionnelle de B, si c'est la cause Ai qui intervient. Et soit pHAi L la probabilité d'intervention de Ai , appelée probabilité a priori de Ai . (1.7) Le théorème de Bayes, appelé

trouvé RR=15.2, sans avoir besoin de connaître la Pr(CP) (càd x qui se biffe). • Théorème de Bayes Problème : La population est partagée en trois groupes séparés et on connaît l’incidence d’un certain événement dans chacun des 3 groupes. On observe l’événement sur un individu dont on ne connaît pas l’appartenance. Quelle est la probabilité qu’il provienne du premier, du second ou du troisième groupe ? Bayes dit : Si B est découpé en portions disjointes et exhaustives et si on connaît Pr(A|Bi) pour

événements suivants : M : Bob est atteint de la maladie P : le résultat du test de Bob est positif. L'énoncé du problème nous révèle les probabilités suivantes : P(M) = 0.005 et donc P(M’) = 0.995, P(P\M) = 0.99, P (P\M’) = 0.03. 1. Par le théorème de Bayes, la probabilité recherchée, P(M\P), est donnée par : =0.142 Ainsi, seulement 14% des personnes dont le résultat au test est positif sont vraiment atteintes de la maladie. 2. On cherche P (P’\M) : P (P’\M) = 1 - P(P\M) = 1 – 0.99 = 0.01 3. On cherche

Probabilités conditionnelles • • • • P ( AsiB ) = P ( AetB) P ( B) P( AetB) = P( B).P( AsiB) P( AetB) = P( A).P( BsiA) De et , P ( BsiA) = P( AsiB) .P( B) P( A) © F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 15 Théorème de Bayes A = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) P ( A) = P ( AetB) + P ( Aet B) • De E A B , , , P ( BsiA) = P ( AsiB ).P ( B) P ( AetB) + P ( Aet B) P ( AsiB ).P ( B) = P ( AsiB ).P( B) + P ( Asi B).P ( B ) Où P( B) = 1 − P( B) 16 © F. Mauny - UFR

Modèle probabiliste . . . . . . . . . . Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilité conditionnelle . . . . . . Un nouvel Univers . . . . . . . . . . . Exemple: fausse alarme . . . . . . . Théorème de probabilité totale . . Théorème de Bayes . . . . . . . . . . Inférence bayésienne . . . . . . . . . Indépendance . . . . . . . . . . . . . . Quelques stratégies . . . . . . . . . . Compter = multiplier. . . . . . . . . . . . ou diviser! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conditionnement Les probabilités conditionnelles prennent en compte les informations concernant l'issue d'une expérience qui modifient la probabilité des événements liés à cette expérience. On parle de probabilités conditionnelles lorsque deux événements d'une expérience aléatoire se réalisent l'un après l'autre, on regarde alors l'influence du premier sur le second. 1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ? Lecture d'un arbre On considère une expérience aléatoire et deux événements A

jours relativement, pour ne pas dire largement, méconnue. Dans son « Histoire de l’analyse économique » J.A. Schumpeter écrit : « Pour ce qui concerne notre sujet, nous pouvons sans crainte franchir d’un bond cinq cents ans, jusqu’à l’époque de Saint Thomas D’Aquin (1225-1274) » 1 . Par ces quelques mots le grand économiste autrichien effaçait d’un trait de plume cinq siècles, et même plus, de pensée économique en Islam. Forts de la notoriété de Schumpeter, la plupart des historiens de la pensée économique