Théorème De Baire

chapitres du livre [B] forment un bon condensé (d’un niveau assez élevé) des grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle. Le livre [HL] est aussi très clair et contient des exercices pertinents qui sont pour la plupart corrigés dans [LM]. On pourra aussi consulter le très concis [Wi] qui adopte une présentation un peu moins abstraite (mais attention aux notations peu standards). Les livres [Wa],[S] présentent les grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle mais dans un cadre plus général que celui abordé

négatives et l’on souhaite établir que f s’annule. a) Etablir que A = (x, y) ∈ I 2 , x < y est une partie connexe par arcs de I 2 . b) On note δ : A → R l’application définie par δ(x, y) = f (y) − f (x). Etablir que 0 ∈ δ(A). c) Conclure en exploitant le théorème de Rolle Exercice 48 [ 01156 ] [correction] Montrer que le sous-ensemble de Mn (R) formé des matrices diagonalisables est connexes par arcs. Exercice 49 [ 01157 ] [correction] Montrer que GLn (R) n’est pas connexe par arcs. Exercice 50 [

E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 3 A.2 Ensembles finis, monoïdes

cette occasion pour signaler qu’il s’agit d’une nouvelle édition : nouvelle traduction, un nouveau chapitre, et surtout de nombreux appendices historiques dans lesquels sont reproduits in extenso des articles fondateurs (B. Riemann, H. Lebesgue, R. Baire, S. Bernstein, J.P. Kahane...). 3. Le terme “holomorphe” ([?], p. 272-73) tire son origine du grec holos pour entier ou restant préservé et de morphê désignant la forme ; il souligne le caractère de rigidité des fonctions holomorphes. 4. On notera

condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? 21 [002992] [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a˙ est équipotent à H. 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

2. A quelle condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a est équipotent à H. ˙ 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

que l’ensemble des points de e e e discontinuit´ d’une fonction de R dans R est un Fσ et que, ´tant donn´ D un Fσ , il existe e une fonction de R dans R dont l’ensemble des points de discontinuit´ est exactement D. e e Par ailleurs, le th´or`me de Baire (cf. e.g. probl`me 1.2, feuille 1) implique que Qc n’est e e pas un Fσ . Par cons´quent, il n’existe pas de fonction continue sur Q, discontinue sur Qc . e Exercice 2.2. Soit X un bor´lien de R et f : X → R monotone. Montrer que f est mesurable. e