Tpe Nombres Premiers

auteurs : Ron Rivest, Adi Shamir et Léonard Adleman. Le chef du réseau choisit deux nombres premiers p et q puis calcule leur produit n . Il choisit ensuite un entier naturel e tel que PGCD  e ,  p − 1   q − 1  = 1 . Il diffuse la clef publique { n ; e } . La clef privée est un entier naturel d tel que de ≡1 [  p − 1   q −1  ] 1) La clef publique. On choisit p = 53 et q = 79 . • Vérifier que p et q sont premiers. • Calculer n et  p − 1   q − 1  On prend e = 119 • Vérifier que e est conforme

que les Ai sont deux à deux disjoints.) Correction [005279] Exercice 3 *** Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiers xi ≥ 0 de l’équation k x1 + x2 + ... + xn = k (k entier naturel donné) est Cn+k−1 . (Noter an,k le nombre de solutions et procéder par récurrence.) Correction [005280] Exercice 4 * Combien y a-t-il de nombres de 5 chiffres où 0 figure une fois et une seule ? Correction [005281] Exercice 5 ***I Quelle est la probabilité pn pour

Cours d’arithm´tique e Premi`re partie e Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi D´cembre 2004 e Ce document est la premi`re partie d’un cours d’arithm´tique ´crit pour les ´l`ves pr´e e e ee e parant les olympiades internationales de math´matiques. Le plan complet de ce cours est : e 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´quences e Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´s e Polynˆmes ` coefficients entiers o

2010-2011 Nombres Premiers Théorème de Dirichlet (1805-1859) Nous avons démontré qu'il existe une innité de nombres premiers (preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre premier > 2 est de

DS1 Suites Produit scalaire Terminale S3 02/10/2012 Exercice 1 1. Soit [pic]un réel strictement positif. Démontrer que, pour tout entier [pic], [pic] 2. Montrer que pour tout réel [pic] [pic]. Exercice 2 La suite [pic]est définie pour tout entier naturel [pic]par [pic] 1. Montrer que pour tout entier naturel [pic], [pic] 2. Quel est le comportement de la suite [pic]en [pic] ? Exercice 3 La suite [pic]est définie par [pic]. 1. Montrer que pour tout entier naturel

solutions de (x − 2)(x − 3) = 0 −(−1 − 6) nombre premier pair nombre de faces d’une pyramide a ` base triangulaire 4 4 nombre d’axes de sym´trie e d’un rectangle √ dernier chiffre 23 10 − 17 + 11 nombre de faces d’un cube num´rateur e de la fraction irr´ductible e ´gale e a ` 9261 33957 √ 324 2 270 nombre de solutions de x2 = 3 PGCD 11760 2574 de et √ √ 1+ 4 10−2 0, 01 num´rateur e 7 − de 4 1 5 3 + − 2 8 4 nombre d’axes de sym´trie e d’un triangle ´quilat´ral

Exo7 Arithmétique dans Z 1 Divisibilité, division euclidienne Exercice 1 Sachant que l’on a 96842 = 256 × 375 + 842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96842 par chacun des nombres 256 et 375. Indication Correction Vidéo [000251] Exercice 2 Montrer que ∀n ∈ N : n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24, n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120. Correction Vidéo [000257] Exercice 3 Montrer que si n est un entier

XIIème siècle (1175-1240), d'où son nom de Léonard de Pise, en référence à Léonard de Vinci. La suite de Fibonacci se construit facilement : chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1. Le troisième terme est donc 1 (0 + 1 = 1), le quatrième terme 2 (1 + 1 = 2), le cinquième 3 (1 + 2 = 3), le sixième 5 (2 + 3 = 5), et ainsi de suite. Le début de la suite du célèbre mathématicien Fibonacci est donc : 0, 1, 1

2n  5p 85 5  17 5 51 donc représente un nombre décimal 85 16 2  fraction irréductible avec undénominateur qui n' est pas du type 2n  5p 56 7 16 donc ne représente pas un nombre décimal 56 35 5  fraction irréductible avec undénominateur qui n' est pas du type 2n  5p 21 3 35 donc ne représente pas un nombre décimal 21 17 17  fraction irréductible avec undénominateur du type 2n  5p 128 27 17 donc représente un nombre décimal 128 77 11  fraction irréductible avec

- dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 21 février 2013 Enoncés Exercice 23 [ 01209 ] [correction] Soient a et b deux entiers relatifs premiers entre eux et d ∈ N un diviseur de ab. Montrer que ∃!(d1 , d2 ) ∈ N2 tel que d = d1 d2 , d1 | a et d2 | b. 2 Nombres premiers entre eux Exercice 16 [ 01202 ] [correction] Soient a et b premiers entre eux. Montrer que a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) = 1 puis (a + b) ∧ ab = 1. Exercice 17 [ 01203 ] [correction] Soient a, b ∈ Z. a) On suppose a ∧