Tpe Nombres Premiers

numérique (Un), c'est associer à chaque entier naturel n, un nombre réel Un. On étudie tout particulièrement les suites de base que sont les suites arithmétiques et géométriques car leurs applications économiques sont nombreuses : progression d'une population à taux constant, valeur acquise d'un placement à intérêts simples ou à intérêts composés pour une période donnée, etc. Des formules permettent de calculer directement la somme de leurs premiers termes. 1 1. Par quelles méthodes engendrer une

Définition par récurrence r = raison n = entier naturel Suite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante. La différence est la raison. b. Terme général Uo = premier terme de la suite p et m = entiers naturels Sommes des premiers entiers consécutifs : II – Suite géométrique a. Définition par récurrence q = raison n = entier naturel b. Terme général c. Somme de termes consécutifs III – Variation d’une suite

tout sinus est un nombre qui exprime avec une grande approximation la ligne qui augmente également dans des temps égaux pendant que la ligne des sinus total décroît proportionnellement dans le sinus, les deux mouvements ayant lieu dans le même temps et au commencement avec la même vitesse". Les logarithmes étaient nés mais un inconvénient majeur résidait dans le fait qu'il s'appuie sur une base difficilement compréhensible, puisqu'il s'agit du logarithme népérien de base "e", nombre irrationnel valant

programme Pascal qui détermine puis affiche le nombre de combinaisons de p objets parmi n. n et p sont deux entiers naturels strictement positifs (avec n >= p). La solution doit comporter une fonction intitulée FACTORIEL (x) qui détermine la factorielle de x (x ! = x * (x-1) * (x-2) * …. * 3 * 2 * 1). Exercice 2 Ecrire un programme qui calcule le PPCM de deux nombres a et b Exercice 3  Écrire un programme qui permet de décomposer en facteurs premiers un entier n lu au clavier. Exemple : Entrée

= un+1 − un . A partir des données on calcule les premiers termes de (dn ) : d0 = u1 − u0 = 21 − 5 = 16 d3 = u4 − u5 = 40 etc. On conjecture que (dn ) est une suite arithmétique de premier terme 16 et de raison 8 . 2. On considère la suite arithmétique (vn )n∈N de raison 8 et de premier terme v0 = 16. Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n2 + 12n. La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme v0 est donnée par la relation : Sn = n(v0 +

Soit (Un) la suite définie par U0 = 10 et pour tout entier naturel n :  Un+1 = 0.9Un+1,2  On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n , par Vn=Un-12  a) Démontrez que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.  Vn+1 = Un+1 - 12 = 0.9Un + 1.2 - 12 = 0.9Un-10.8 = 0.9(Un-12) = 0.9Vn  q=0.9  V0=-2  b) Exprimez pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.  Vn=-2*(0.9)^n  c) En déduire que, pour tout entier naturel n, Un=

...................................6 A. Premier test : à propos du PGCD....................................................... 6 B. Second test : raisonnements en arithmétique .................................. 13 2. Erreurs classiques.........................................................................................15 A. Erreurs liées à un problème de langage........................................... 15 B. Erreurs liées au statut des nombres..........................................

k ∈ K}. • Étant donné deux groupes G et H, de neutres respectifs eG et eH , et un morphisme de groupes f : G → H, on appelle noyau de f l’ensemble Ker(f ) = {x ∈ G | f (x) = eH }. • Soit G un groupe d’ordre pr m, où pr ∧ m = 1, et p est un nombre premier. On appelle p-sous-groupe de Sylow de G un sous-groupe de G de cardinal pr . • Étant donné H un sous-groupe de G, et g ∈ G, on appelle classe à gauche de g modulo H l’ensemble gH = {gh, h ∈ H}. • Soit H et K deux sous-groupes de G. On dit

Durée : 2 h - calculatrice interdite Exercice 1 (1,25 points) Indiquer le plus petit ensemble auquel appartient chacun des nombres suivants, en justifiant au besoin par un calcul 255 5148 ● ● 9 9 5 10 ● ● 3 2 5 3 2 5 40    ● Exercice 2(1,25 points) Vrai ou Faux ?  ● 2;3; 10 3   ●  98  ● 2; 9;   3 72   ● ● Exercice 3 (2,5 points) Vrai ou faux ? Entourer la réponse qui convient. En cas de réponse fausse

. 29 Généralités Relation d’ordre Relation d’équivalence L’ensemble Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 30 4 Nombres complexes 4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . 4.1.2 Écriture algégrique et conjugué . . . 4.1.3 Écriture polaire, module et argument 4.2 Propriétés des nombres complexes . . . . . . 4.2.1 Racines de polynômes . . . . . . . . 4.2.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations