Tpe Nombres Premiers

c'est-à-dire a ≡ a [mod p ] p Petit théorème de Fermat : Si p est premier et a un entier naturel alors p divise a − a , p Preuve : Montrons tout d’abord que pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ p − 1 , p divise   k     p  p  p p!  = donc   k ! ( p − k )! = p × ( p − 1 )!    k  k ! ( p − k )! k     p donc p divise   k ! ( p − k )! k    or p est premier avec k ! ( p − k )! ( sinon (Gauss) il diviserait l’un des facteurs du produits ce qui n’est pas possible

Exercice Partie A On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12. Le point An +1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An, 1) et (Bn, 3). 1) Sur un graphique, placer les points A1, B1, A2, B2. 2) On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn. 2a + bn . Montrer

dit que le produit infini ni{), li>U, . de terme général si la suite (P,, ),,>,,,, converge vers +Ur fini non nul. On notera alors nlt, sa limite. ,,=,/, Si la suite (P,, ),,>,,,, n’admet pas de limite finie ou si elle converge un nombre rI zt,, diverge. ,i>li,, vers 0 on dit que le produit 1. Généralités et exemples P )i+l. montrer que. pour que le produit 4, que la suite (ioz ),,20 converge vers 1. le quotient infini ni,, Il>o converge, il est 1. En considérant nécessaire

dont les côtés sont toujours a et b, il est possible de paver intégralement un plan euclidien de manière non périodique. Un tel pavage est dit de Penrose. [afficher] Démonstrations géométriques Trigonométrie Article détaillé : Trigonométrie. Nombre d'or trigonométrie.svg L'analyse des mesures des triangles d'argent et d'or permettent de déterminer les valeurs trigonométriques associées au pentagone. Considérons un triangle d'argent de base φ et donc de côtés adjacents de longueur 1. Ce triangle

ascendante Au bout de 6 secondes, la balle sera à une distance de 84 mètres par rapport au sol 2°) En considérant les nombres réels, on peut considérer que : A. B. C. D. Il y a un nombre défini de nombres premiers Par définition, tous les nombres premiers sont impairs La multiplication par un nombre premier donne toujours un produit impair Il n’existe pas de nombres premiers pairs 3°) 40% des effectifs de l’entreprise Apié viennent en voiture le matin. Parmi eux, 30% ont une voiture rouge, 20%

Exercice 1 : Formule de Burnside : Soit G un groupe ni opérant sur un ensemble ni 1 E. Montrer que le nombre d'orbites de E est égal à |G| g∈G Card {x ∈ E / g.x=x}. Corrigé : Il est clair que {{(g,x)∈ G×E / g.x=x} / g∈G} et {{(g,x)∈G×E / g.x=x} / x∈E} forment deux partitions de {(g,x)∈G×E / g.x=x}. G et E étant nis, on a donc g∈G Card {x∈E / g.x=x} = x∈E Card {g∈G / g.x=x}. Or, pour tout élément x de E, {g∈G / g.x=x} = Gx donc x∈E |Gx |. g∈G Card {x∈E / g.x=x} = Si x est un élément de E, on note

24 × +1 D = 16 15 1 1 2+ + 1 2 1+ 2 5 Calculer : A = (−2)3 × 5 + 32 × 24 − 5 × 22 2 B = 9 × ( )2 − (32 × 2)4 − 5 × 22 3 (52 × 33 )2 × 2−2 × (−3)−2 C= 3 (32 × 24 ) × 2−3 × 5 2 3 (3 × 10−2) × (52 × 104 ) D= 6 × 103 × 25 × 107 Comparer les nombres suivants en comparant au pr´alable leurs carr´s : e e 1 z=− 3 √ a=3 3 √ c = −2 7 √ e=2+ 5 √ g =1+ 5 et et et h= √ 6−2 5 √ 3+2 2 √ b=4 2 d = −10 f= 6 2 3 Soit x = 2 + 4 4 2 y= : 5 15 Calculer : A = 4x + 10y + 6z B = x+y 1 z √ 9+4

1 Pb 11 08-02-2011 D´veloppements limit´s et d´nombrement e e e Enonc´ tir´ d’un vieil ´crit (E.N.S.A.M. + E.S.T.P. ) e e e question de cours donner le d´veloppement limit´ ` l’ordre n au voisinage de 0 de (1 − t)−3 : e ea • les cinq premiers coefficients seront fournis explicitement • le n-i`me sous forme symbolique aussi simple que possible ... e • ... puis sous forme d´velopp´e e e Ci dessous n ∈ N, on pose Pn (X) = (1 + X + X2 + ... + Xn−1 + Xn )3 2 a b c d un petit exemple :

personnes. Quelles sont les différentes possibilités ? 10 Nombres parfaits a. Écris la liste de tous les diviseurs de 6. b. Calcule la somme de tous ces diviseurs à l'exception de 6. c. Que remarques-tu ? On appelle nombre parfait tout entier qui a cette particularité. d. Vérifie que 496 est un nombre parfait. e. Trouve tous les nombres parfaits compris entre 20 et 30. 2 Dans chaque cas, écris quatre phrases utilisant les nombres et l'un des mots suivants : diviseur, multiple, divisible, divise

le discriminant : Δ= b²-4ac Puis x1=(-b-racine de delta) : 2a et x2=(-b+racine de delta) : 2a IV-Interprétation du nombre dérivé  * La tangente à la courbe : On appel tangente à une courbe C la droite qui coupe la courbe C au point d’abscisse a. Soit f une fonction représentée par une courbe C et a un réel. On appel nombre dérivé de f en a et on note f’(a) le coefficient directeur de la tangente a C en a . * Déterminer le coefficient directeur par lecture graphique :