Transformation de Laplace

Transformation de Laplace ------------------------------------------------- Pierre-Simon de Laplace, né le 23 mars 1749 à Beaumont-en-Auge et mort le 5 mars 1827 à Paris, est un mathématicien, astronome et physicien français. En complément de son travail reconnu sur l’étude des équations différentielles, il a contribué notamment à la théorie des probabilités et à l’évolution de la mécanique céleste. ------------------------------------------------- Pierre-Simon de Laplace, né le 23 mars

(iii) êt être capable bl d’ét d’étudier di d des systèmes tè complexes. l  Ce sont ces 3 points que nous allons maintenant abordés abordés.   Aymeric Histace 3 Plan  1. Relation entrée/sortie des systèmes linéaires  2 La transformée de Laplace 2.  3. Fonction de transfert d’un système linéaire  4. Simplification des schémas fonctionnels Aymeric Histace 4 1. Relation entrée/sortie / des SL  Système linéaire   Les systèmes étudiés dans le cadre de ce cours sont uniquement des

TRANSFORMEE DE LAPLACE Chapitre1: La transformée de Laplace L’ESSENTIEL DU CHAPITRE I. Définition de la transformée de Laplace Soit f (t ) une fonction réelle, de la variable temps (t ) , définie pour t > 0, f (t ) = 0 pour t < 0 . La transformée de Laplace F (p) , image, de f (t ) est définie par: F (p ) = ∫ ∞ 0+ e −pt f (t ).dt (1.1) p étant une variable complexe (p = σ + jw ) , σ, w sont des variables réelles et j 2 = −1 . Notation: La transformée de Laplace F (p)

………………………………………………………………………………………...….12 2.2. Systèmes linéaires …………………………………………………………………………………..13 3. Représentation de SLCI ……………………………………………………………………………….14 4. Résolution des équations différentielles ……………………………………………………………....15 5. Transformée de Laplace : ………………………………………………………………………...……15 5.1. Définition …………………………………………………………………………………………....15 5.2. Propriétés et théorèmes : ……………………………………………………………………….……15 6. Fonction de Transfert…..….……………………...……………………………………………………16 6.1. Définition …………………………………………………………………………………………

12 12 12 13 15 17 1.3 1.4 Le cas des systèmes linéaires La transformation de Laplace 1.4.1 1.4.2 1.4.3 Définition Propriétés fondamentales de la transformation de Laplace Transformée de Laplace inverse Échelon unité Rampe ou échelon de vitesse Impulsion unitaire Signal sinusoïdal Signaux quelconques Définition Mise en cascade de deux systèmes Original d’une fonction de transfert Principe Exemples 1.5 Transformées de Laplace de quelques signaux usuels 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.6

points a) et b) pour R = 10−3 Ω. Exercice 134 - Un signal continu x(t) à valeurs réelles a une transformée de Laplace X(s) dont les diagrammes d’amplitude et de phase sont donnés ci-dessous. Les signaux xa (t), xb (t), xc (t) et xd (t) ont des transformées de Laplace dont le diagramme d’amplitude est identique à celui de X(s), mais dont le diagramme de phase correspond à une transformation linéaire de la phase de X(jω). CHAPITRE 8. DIAGRAMMES DE BODE 70 Déterminer xa (t), xb (t), xc (t)

intégro-différentielles. On peut alors les résoudre facilement en calculant la transformée de Laplace des équations, en résolvant le système d’équations 2 CIRCUITS EQUIVALENTS opérationnelles résultant, et en cherchant l’inverse de la solution opérationnelle (Fig. 3.1 haut). Circuit (t) Circuit (t) d⎞ ⎛ f ⎜ u , i, ∫ , ⎟ = 0 dt ⎠ ⎝ Kirchhoff Eléments opérationnels équivalents Circuit (p) Laplace Kirchhoff f (U , I , p ) = 0 f (U , I , p ) = 0 Résolution Résolution

fréquences dans l’asservissement. 15 Transformée en Z Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num. • Avant de présenter la transformée en Z, revenons sur le cas de la transformée de Laplace. • Cas continu : une fonction de transfert dans le domaine de Laplace représente un système dont la dynamique obéit à une équation différentielle ordinaire à coefficients constants (= linéaire) : d 2 y (t ) d y (t ) d x (t ) a2 + a1 + a 0 y ( t ) = b1 + b 0 x (t ) 2 dt dt dt 16

d’ét di d systèmes complexes. être bl d’étudier des tè l Ce sont ces 3 points que nous allons maintenant abordés abordés.     Aymeric Histace 3 Plan  1. Relation entrée/sortie des systèmes linéaires 2. 2 La transformée de Laplace 3. Fonction de transfert d’un système linéaire 4. Simplification des schémas fonctionnels Aymeric Histace 4    1. Relation entrée/sortie des SL /  Système linéaire  Les systèmes étudiés dans le cadre de ce cours sont uniquement

transfert et transformation de Laplace; - l’implantation physique de cette loi de commande ( correction. Transformation de Laplace La modélisation d’un système physique fait intervenir un système d’équations différentielles. Sa résolution (plus ou moins difficile) permet la détermination de régimes transitoires du système dynamique. Ces régimes peuvent aussi être déterminés en utilisant le calcul opérationnel fondé sur la transformation de Laplace. Définition de la transformée de Laplace Soit