Tribu borélienne

—————————————————————————————— 1 Tribu Soit X un ensemble on note par P(X) l’ ensemble de tous les sous-ensembles de X. Une collection d’ ensembles A P(X) est dite tribu sur X si (a) X 2 A, (b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable). Si A est une tribu sur X, on dit que (X; A) est un espace mesurable et un ensemble A 2 A est dit A mesurable ou simplement mesurable s’ n’ a pas de confusion à craindre. il y P(X) est la plus grande tribu sur X tandis que

est appelé espace probabilisé. Définition — Soit une variable aléatoire réelle sur l'espace probabilisé , c'est-à-dire une fonction mesurable (l'ensemble étant muni de sa tribu borélienne ). On appelle loi (de probabilité) de la variable aléatoire la mesure de probabilité définie sur l'espace mesurable par : pour tout borélien de . On dit parfois que est la mesure image de par . Bien évidemment, deux variables aléatoires réelles et ont même loi si (égalité de fonctions). Cela se réécrit ou

monter et 1 − p de descendre. Attention p ∈]0, 1[ car les 2 états du monde peuvent arriver. F = {F0 , F1 } est un couple de deux tribus représentant l’information globale disponible sur le marché aux instants t = 0 et t = 1. En t = 0, on ne dispose d’aucune information: F0 = {∅, Ω}. En t = 1, on sait si l’actif est monté ou descendu: F1 = P(Ω) = {∅, Ω, {ωu }, {ωd }}. Cette tribu représente l’ensemble des parties de Ω dont je puisse dire à l’instant t = 1 si elles sont réalisées ou non. 8 Remarque:

Table des mati`res e 1 Mesures 1.1 Tribus . . . . . . . . 1.2 Fonctions mesurables 1.3 Classe monotone . . 1.4 Mesures . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3 . . . . . 4 4 5 6 6 7 . . . . 8 8 9 9 11 4 Ind´pendance e 4.1 Ind´pendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2 Vecteurs Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 14 5 Convergence de suites de variables al´atoires

 Chapitre 1 : Tribus. 1.1 Ensembles dénombrables. 1.1.1 Définition : Un ensemble X non vide est dit fini lorsque ∃ n ∈ ℕ* t.q ∃ φ : {1,…,n} → X bijective. Dans ce cas, n est dit le cardinal de X. 1.1.2 Définition : Un ensemble X non vide est dit infini lorsqu’il n’est pas fini. 1.1.3 Théorème : Soit X un ensemble non vide, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) X est infini.  (ii) ∃ X0 ⊊ X, ∃ ψ : X0 → X bijective. 1.1.4 Définition : Un ensemble X non vide est dit dénombrable

´ ´ THEORIE DE L’INTEGRATION Gijs M. Tuynman 20 septembre 2007 1 ´ ´ THEORIE DE L’INTEGRATION 2 `res Table des matie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. Tribus La droite achev´ee Applications mesurables Espaces produits Subdivisions et fonctions ´etag´ees Mesures L’int´egrale de fonctions positives Le th´eor`eme de convergence montone de Beppo-Levi L’int´egrale de fonctions r´eelles ou complexes Le th´eor`eme de convergence domin´ee de

résultats probabilistes essentiels à la compréhension des méthodes développées dans les chapitres suivants. 1.1 1.1.1 Rappels sur la théorie de la mesure Mesures Une mesure est une fonction positive de l’ensemble (tribu) des événements A d’un espace mesurable (Ω, A). • Tribus Dans toute la suite nous adoptons les notations standards : – Ω est un ensemble (fini ou infini). – P(Ω) est l’ensemble de tous les sous-ensembles (parties) de Ω. Rappel 1 (Dénombrabilité) Soit E un ensemble. E est dit dénombrable

une mésentente ainsi qu’une peur au sein du groupe car il les persuade qu’un monstre vit sur l’île. La terreur les envahis et peu à peu deux clans ce forment, l’un autour de Ralph, l’autre autour Jack. Celui-ci prend les pleins pouvoirs et crée une tribu. Jack devient le chef et les enfants les suiveurs. Rassemblé sur la plage autour d’un feu, maculé de peintures tribales, ils commencent une danse rituelle autour du culte du cochon. Il n’y a plus de parole mais des cris bestiaux, en transe ils vont

Nokan qui met en évidence le rapport entre le tribalisme et la politique dans cette pièce des affres de l’existence. I- LE RAPPORT ENTRE LE TRIBALISME ET LA POLITIQUE 1) Définition du tribalisme Le tribalisme comme sentiment d’appartenance a une tribu, c’est-à-dire a un groupement humain ayant en partage une même culture fondée essentiellement sur la langue, est un phénomène culturel régulier tout a fait normal. Il traduit en chaque homme la conscience de l’identité qu’il porte et des devoirs culturels

des variables aléatoires représentant les rendements successifs de l’actif risqué S. Elles sont définies de la manière suivante sur l’espace Ω = {b, 0, h}T muni de la tribu grossière F = P(Ω) et d’une probabilité P non redondante : Ut : Ω → {b, 0, h} ω = (ωt )t∈{1,...,T } → ωt . ˜ On supposera que −1 < b < 0 < h. On note F0 la tribu triviale et Ft = σ(U1 , . . . , Ut ). S désignera le prix actualisé de l’actif risqué. A.1. Montrer que FT = F puis que Ft = σ(S1 , . . . , St ) pour tout t ∈ {0, . .