Trigonométrie

dynamisme au niveau des découvertes.  Dès le règne d'Al-Mammoun, les Arabes accrurent puissamment l'héritage mathématique des Grecs, le nourrissant des connaissances acquises par les mathématiciens indiens. Regiomontanus perfectionne alors la trigonométrie. Jean Widmann d'Eger emploie le premier les signes + et - pour désigner l'addition et la soustraction. Le Toscan Lucas Paccioli donne des méthodes pour ramener toutes les équations du second degré à trois cas. Toutefois, il faut arriver à Viète

Algèbre linéaire 1 1/11 A. RAPPELS DE TRIGONOMETRIE ANGLES La mesure d'un angle peut s'exprimer en degrés, en radians, et en grades. Nous nous intéresserons particulièrement aux deux premières unités de mesure. Le degré, noté 1 , est défini comme étant la mesure de l’angle au centre interceptant un arc de cercle de longueur égale à 1 360 de la circonférence du cercle ; 1 correspond donc à 1 360 de rotation complète. L’origine de cette mesure d’angle est ancienne et remonte aux Sumériens (2’700

et 5, respectivement 4 et 6, sont appelés alterne-externes. 3. Les secteurs angulaires 1 et 5, respectivement 2 et 6, sont appelés correspondants. 4. Les secteurs angulaires 1 et 3, respectivement 2 et 4, sont dits opposés par le sommet A. 1 Trigonométrie - Chapitre 1 Page 2 Théorème 1 Deux secteurs saillants opposés par le sommet sont isométriques. Théorème 2 (Théorème de la transversale) Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, 1. les secteurs angulaires alterne-internes déterminés

propriétés. L’optique géométrique est une branche de l’optique qui permet d’expliquer des processus relatifs à la lumière à partir de lois géométriques ou constructions géométriques. Rappel de trigonométrie : La trigonométrie permet de mettre en relation des angles et des distances. Pour cela la trigonométrie utilise des fonctions mathématiques : Sinus Cosinus Tangente Cercle trigonométrique : Sin 1 a α 0 Cos b 1 a = sin α b = cos α Sinus : projection d’un angle sur l’axe vertical

point d’intersection (s’il y en a un) de 2 droites. Il faut donc trouver la coordonnée du point qui vérifie les 2 équations de droite. Il existe 2 méthodes : la substitution et les combinaisons linéaires. 5. La trigonométrie : A. A quoi sert la trigonométrie ? La trigonométrie nous permet de trouver des mesures d’angles ou des mesures de longueur grâce à un angle. B. Sinus d’un angle aigu : Dans tout triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au rapport entre la longueur

TRIGONOMÉTRIE ET FONCTIONS CIRCULAIRES I) Le radian Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que l'angle plat (180°) mesure p radians. Ainsi, un arc de cercle de rayon R et d'angle a (en radians) a pour longueur : L = aR Le tableau de proportionnalité ci-dessous permet de convertir un angle de x degrés en un angle de a radians (ou inversement). degrés 180 x radians p a Exemple : convertir 60° en radians : cela donne a = L = Ra R 60p p = rad. 180 3 H J II) Cercle trigonométrique

TD - Trigonométrie type Brevet Exercice 1 : (Lyon 96) 1) Construire un triangle IJK tel que : JK = 8 cm ; IJ = 4,8 cm ; KI = 6,4 cm. 2) Démontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle. 3) Calculer la mesure en degrés de l'angle . Donner la valeur arrondie au degré le plus proche. Correction : 1) [JK] est le plus grand côté. JK² = 8² = 64 IJ² + IK² = 4,8² + 6,4² = 23,04 + 40,96 = 64 Donc JK² = IJ² + IK² et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en

Comme le triangle DEC est rectangle en E, on peut donc appliquer la trigonométrie : cos = = = donc mesure au degré près 37°. b) les angles et sont des angles correspondants formés par les droites (AB) et (CD) coupées par la sécante (EC). Comme les droites (AB) et (CD) sont parallèles, on a donc : = donc mesure au degré près 37°. Exercice 2 : 4 points 1. Le triangle ABC est rectangle en B, on peut donc appliquer la trigonométrie : on connaît , le côté adjacent à cet angle et on cherche AC l’hypoténuse

Comme le triangle DEC est rectangle en E, on peut donc appliquer la trigonométrie : cos = = = donc mesure au degré près 37°. b) les angles et sont des angles correspondants formés par les droites (AB) et (CD) coupées par la sécante (EC). Comme les droites (AB) et (CD) sont parallèles, on a donc : = donc mesure au degré près 37°. Exercice 2 : 4 points 1. Le triangle ABC est rectangle en B, on peut donc appliquer la trigonométrie : on connaît , le côté adjacent à cet angle et on cherche AC l’hypoténuse

EXERCICES DE TRIGONOMÉTRIE Exercice 1 Résoudre, sur , les équations suivantes : 2 3 sin x = 4 Exercice 2 Simplifier au maximum les expressions suivantes : 2 æp ö A(x) = cos(x + p) sin ç - x ÷ - sin (-x) è2 ø 2 cos x = 1 2 sin (2x) = cos x B(x) = tan(x + p) - tan x (pour x Î ]- p p ; [) 2 2 2æ pö C(x) = sin ç x - ÷ + sin(p – x).sin(–x) 2ø è æp ö æp ö D(x) = sin ç + x ÷ – sin ç - x ÷ è3 ø è3 ø Démontrer que pour tout x Î  : 2 3 æp ö æp ö - sin x sin ç + x ÷ ´ sin ç - x ÷ =