Trigonométrie

courbe puis on projette de la courbe jusqu’à l’axe des ordonnées pour lire une distance de freinage de 40 mètres. 3: On remplace v par 110 dans l’expression et on calcule ce qui donne un résultat de 79 mètres. Exercice N°7 1: Faisons un peu de trigonométrie : Tangente BAC = Coté Opposé 10  Coté adjacent 100 Et on calcule arc tan à la calculatrice ce qui équivaut à une pente à 6° 2: Le panneau « A » indique une pente de 15 mètres pour 10 mètres soit un rapport de 0,15 Le panneau de droite indique

[u( x )]2 u ' ( x ) v ( x ) − u( x ) v ' ( x ) [v( x )]2 2 Logarithme népérien : ln ln (ab) = ln a + ln b a ln ( ) = ln a – ln b b ln (an) = n ln a Equations différentielles y' - ay = 0 y = k eax y" + ω2y = 0 y = a cos ωx + b sin ωx Trigonométrie sin (a +b ) = sina cosb + sinb cosa cos (a +b ) = cosa cosb – sina sinb cos 2a = 2 cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2a sin 2a = 2 sina cosa Nombres complexes (j2 = -1) forme algébrique forme trigonométrique z=x+jy z = ρ (cosθ + j sinθ ) z =x-jy z = ρ (cosθ

Les Nombres Complexes Prérequis: Coordonnées cartésiennes/polaires dans le plan réel Trigonométrie (formules + cercle) Résolution d'équation du second degré Exponentielles Introduction: On donne aux élèves des équations du second degré à résoudre pour d'une part vérifier les acquis et d'autre part introduire la notion de nombre imaginaire. Ex: x² = 16 (x-2)² = 0 2x² + 1 = 4 x x² = -1 On présente la solution de la dernière équation d'un point de vue historique (conformément

Chasles) : Pour tous vecteurs ⃗ ⃗ )=( ⃗u ; w ⃗) ⃗ non nuls, ( ⃗ u et ⃗v non nuls, Corollaire : Pour tous vecteurs ⃗ u )=−( ⃗ u ;⃗ v) u ;−⃗ v )=(⃗ u ; ⃗v )+ π=(−⃗ u ;⃗ v) • ( ⃗v ; ⃗ • (⃗ u ;−⃗v )=−( ⃗ u ; ⃗v ) • (−⃗ Démonstration : En exercice V. Trigonométrie π Définition : Un repère orthonormal (O ; ⃗i , ⃗j) du plan est dit direct lorsque ( ⃗i , ⃗j)= 2 , indirect si ( ⃗i , ⃗j)=− π 2 u , ⃗v ) , noté cos ( ⃗ u ,⃗ v ) (resp. sin( ⃗u , ⃗v ) ) est le Définition : Le cosinus (resp. le sinus) d'un angle

= 1,4² + 2² = 1,96 + 4 = 5,96 Donc AC² = AB² + BC² ABC n'est pas rectangle d'après la propriété de Pythagore. Révisions sur la Propriété de Pythagore : la propriété de Pythagore,le triangle EFG est rectangle. 2) Triangles rectangles, trigonométrie : Cosinus=Sinus=Tangente d'un angle aïgu Définitions : Dans un triangle ABC rectangle en A : Cos B= longueur côté adjacent à B Hypoténuse Sin B= longueur côté opposé à B Hypoténuse Tan B= longueur côté opposé à B longueur côté adjacent

Moyen Age *Sciences et techniques islamiques Au Moyen Age, la civilisation arabo-musulmane vit l’âge d’or (Al-Khwarizmi, Avicenne, Averroès). On lui doit de nombreux travaux en maths (algèbre, analyse combinatoire et trigonométrie principalement) *Sciences de l’Europe médiévale latine Dans le haut du Moyen Age, les sciences se structurent autour des arts libéraux. La diffusion progressive de ces connaissances au XIIe siècle dans tout l’Occident

Les débuts de la trigonométrie L’astronomie était la motivation principale pour le développement de la trigonométrie dans l’antiquité. Parmi les premiers astronomes, on trouve d’abord le grec Hipparque, qui a vécu au 2e siècle av. J.-C. Il est le premier à avoir associé une longueur à un angle : il s’agit de la corde de l’angle dans un cercle de rayon fixé. Quatre siècles plus tard vient l’astronome et mathématicien Ptolémée, l’auteur d’un énorme traité d’astronomie en 13 volumes que les arabes

grecs et hindous a probablement sauvegardé une bonne partie de l’héritage mathématique de ces deux grandes civilisations » et trouve important d’y ajouter « … ils ont contribué de façon originale à la théorie des équations, au développement de la trigonométrie plane et sphérique.. ». Terminons cette liste des « tout le monde il est beau, il est gentil » par une lecture critique du livre « Histoire Universelle des Chiffres » de l’historien au nom prédestiné Georges Ifrah ; une véritable encyclopédie

! nombre d'éléments de A "nombre de cas favorables" = En cas d'équiprobabilité P(A) = nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles" ! Proba de B sachant A : PA (B) = ! P(A " B) ; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B) P(A) TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE ! Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2 a –1 = 1 – 2sin2 a Valeurs remarquables 0 sin cos tan 0 sin(2a) = 2sin

d'éléments de A "nombre de cas favorables" = En cas d'équiprobabilité P(A) = nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles" ! Proba de B sachant A : PA (B) = ! P(A " B) ; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B) P(A) TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE ! Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2