Valeur approchée

Vers 2000 av. JC, les Babyloniens connaissaient π comme le rapport constant entre la circonférence d’une cercle et son diamètre, mais pas comme objet mathématique. Ils avaient comme valeur 3 + 7/60 + 30/3600 (car ils comptaient en base 60) soit π=3,125. Vers 1650 av. JC, les Egyptiens avaient trouvé comme valeur (16/9)² ce qui vaut environ 3,16. Il vient ensuite le développement des techniques de calculs grâce à l’analyse que l’on connait maintenant (dérivée, sommes de séries, intégrales …).

être nécessairement définie en a. Il est alors utile d’étudier la limite de cette fonction quand x se rapproche de cette valeur a. Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] − 2 ; + ∞[dont la courbe représentative est : Lorsque x se rapproche de 2 par la droite, f (x) croît sans bornes dans le sens où f (x) devient plus grand que n’importe quelle valeur donnée, si grande soit-elle. On dit alors que f (x) tend vers + ∞ et on écrit . Graphiquement lorsque x se rapproche

partie B 4 . Démontrer que la fonction g 1 définie et dérivable sur Ê telle que : g 1 (x) = −(x + 1)e−x est une primitive de la fonction f 1 sur Ê. 5 . Étudier le signe de f 1 (x) suivant les valeurs du nombre réel x. 6 . (a) Calculer A = g 1 (1) − g 1 (0) et en donner une valeur approchée à 10−2 près. (b) Soit k un réel strictement positif, calculer A k = g 1 (k) − g 1 (0). Calculer lim (A k ). k→+∞ Partie B : Propriétés graphiques On a représenté sur le graphique ci-dessous les

IPT Informatique Pour Tous : Python™ Résolution approchée d'une équation – Dichotomie, Newton. Objectif : L'objectif de ce TD est de mettre en œuvre et de comparer les performances de deux méthodes de recherche approchée d'une racine d'une équation algébrique : méthode de dichotomie, méthode de Newton (avec variante selon la connaissance ou non de la dérivée de la fonction). Problème proposé : recherche des fréquences propres des modes de vibrations d'une pale d'hélicoptère. (d'après

de la subvention en 2003 est de 5130 euros. (c) Calculer le pourcentage de diminution ou d’augmentation de la subvention de 1998 à 2003. (d) Si le taux d’évolution de la subvention d’une année à l’autre était fixe et égal à t %, quelle serait la valeur de t arrondie à près qui donnerait la même augmentation de la subvention entre 1998 et 2003 ? (e) Avec ce même taux d’évolution t, quelle serait la subvention, arrondie à l’unité, en 2004 ? EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l’enseignement

s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique).Les premières sont :3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582.Dans la pratique, on utilise 3,14 mais il est souvent aisé de retenir 22 septièmes ou racine de 10 pour valeur approchée de Pi. Mais l'irrationalité de Pi est encore plus étonnante que celle de par exemple, puisque pour ce dernier, on sait au moins qu'il est solution de l'équation x2 = 2 (Quel nombre faut-il multiplier par lui-même pour trouver 2 ?). Alors que

permettant de calculer une approximation du nombre «π». π est un nombre réel qui permet de calculer le périmètre (ou circonférence) d'un cercle par rapport à son diamètre. Sa valeur approchée est 3,14. Pourtant, ce n'est pas un nombre décimal. Autrefois, on utilisait la fraction 22/7ème ou 335/113ème comme valeur approximative de pi. Archimède de Syracuse (287- 212 avant J.C), ingénieur et mathématicien grec, est un des premier homme à avoir pu définir pi de manière un peu plus précise. En

S4 - compléments de mathématiques 1 - Analyse numérique département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble Nous allons passer en revue plusieurs méthodes permettant de déterminer des valeurs approchées des solutions d’équations du type f (x) = 0. Commeparailleursf(1)=−10,onsaitquef s’annuleunefoiset une seule entre 1 et 2. Il sera parfois plus pratique de résoudre g(x) = x : il suffit de poser f(x) = g(x) − x pour voir que les deux types d’équations sont équivalents. Maisf(1,5)=1,52 −2=0,25>0

j(x) = (x² + 1)(-2x3 + 3x – 7). 1. Calculer j ’(x) pour tout réel x. 2. Déterminer une équation de la tangente à Cj au point d’abscisse 1. 3. Donner l’approximation affine associée à j pour x proche de 1. En déduire une valeur approchée de j(1,1). Comparer avec la valeur exacte. Exercice 4 (3 points) Soit k déf. sur D = ]2 ;+ ¥[ par k(x) = 1. Calculer k ’(x) pour tout réel x de D. 2. Etudier le signe de k ’(x) et dresser le tableau de variation de la fonction k. 3. La courbe Ck admet-elle

Démontrer que f est dérivable en 1 et déterminer le nombre dérivé f'(1) Exercice 5 : f est la fonction définie sur R par f(x)=x³-2 1) Développer f (2+h) où h est un réel quelconque 2) En déduire que f est dérivable en 2 3) Donner une valeur approchée par approximation affine de f (2,003) 4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse 2. 5) Démontrer que pour -1≤h≤1, l’erreur commise en remplaçant f (2+h) par f (2) +hf’ (2) est majorée par