Valeur approchée

car 32  9 25  5 car 5 2  25 a , le nombre positif dont le carré Remarque : On ne peut pas toujours donner une valeur décimale exacte de la racine carrée d'un nombre positif, par exemple 2 : 2 est le nombre positif dont le carré vaut 2 :  2 2  2 . On ne peut pas donner de valeur décimale 2 au millième). exacte de 2 . On a 2  1,414 (c'est une valeur approchée de Conséquence Si a désigne un nombre positif, on a :  a 2 2 a a a 2) Propriétés des racines

caractère ou variable. Les résultats obtenus après observation donnent une série statistique. Lorsque les variables prennent des valeurs numériques (âge, longueurs, notes …), les variables sont dites quantitatives. Dans le cas contraire, elles sont dites qualitatives. Cette variable est soit discrète quand elle prend des valeurs isolées, soit continue quand elle prend des valeurs dans des intervalles appelés classes. Exemples • Lors d'une enquête auprès de 100 familles, on s'intéresse au nombre d'enfants

2 ( 2 points) Un indice a progressé de 18,18 % chaque année pendant sept années puis a baissé de x % chaque année pendant les sept années suivantes. Cet indice a progressé de 200 % sur l’ensemble de cette période de quatorze années. Déterminer la valeur de x à 0,01 % près. Exercice 3 ( 3 points) On considère dans R les fonctions définies par : f (x) = x 3 – 2 x 2 – x + 2 g (x) = x 4 - 5 x 2 + 4 Déterminer f ’ (-1) et g’ (-1). En déduire que les courbes représentatives de ces fonctions admettent

limite de f en zéro moins . 5. En déduire la limite de f en zéro . 6. Déterminer la limite de sin2x 1 – cos x en zéro . Exercice 2 : A. Démontrer que l’équation cos x = 1 4 admet une unique solution notée a dans [0, p] . Donner une valeur approchée de a à 0,01 près . B. Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = cos 2x – cos x + 1 . 1. Expliquer pourquoi on peut réduire le domaine d’étude à [0,p] . 2. Démontrer que pour tout xÎ[0,p] f ‘(x) = sin x ( 1 – 4cos x) 3. Résoudre dans [0

normale de moyenne m = 232, 5 et d’écart type σ = 4. On note Z la variable aléatoire suivant cette loi normale. 1. Justifier le choix des valeurs de m et de σ. 2. On veut calculer la probabilité que le nombre de tondeuses conformes de ce lot de 250 soit au moins égal à 240. Pour cela, donner une valeur numérique de P (Z 239, 5). 3. Donner une valeur approchée de la probabilité de l’évènement : « le nombre de tondeuses conformes est compris entre 225 et 245 », c’est-à-dire la probabilité de l’évènement

• comparer deux nombres réels grâce à une valeur approchée déterminée à la calculatrice 17 π et (nouvelle étude dans le chapitre prochain). ex 9 98696035 π² et 9999999 • comparer deux nombres en écriture fractionnaire (les mettre par exemple au même 19 7 et dénominateur). ex 11 15 173 259 et 12 18 I- Règles sur les comparaisons Ce qu’on sait déjà : Introduction : Soient a et b deux réels quelconques. Comparer a et b c’est décider si Cela revient à étudier le signe de a – b. En effet a – b > 0 équivaut

≤ La preuve est similaire pour Vn . http://www.bibmath.net 1 0 f (t)dt. 2 Exercices - Algorithmes : corrigé 2. On sait que 1 f (t)dt − Un ≤ Vn − Un . 0≤ 0 Pour que Un soit une valeur approchée (par défaut) à 10−3 près de 01 f (t)dt, il suffit que Vn − Un ≤ 10−3 . Notre algorithme va donc calculer les valeurs de Un et Vn jusqu’à ce que cette condition soit remplie. n=1 Répète U=0 V=0 Pour k allant de 0 à n-1 faire U=U+exp(-(k*k)/(n*n)) V=V+exp(-((k+1)*(k+1))/(n*n)) n=n+1 Fin pour Jusqu’à ((V-U)<0

pour chacune des trois parties, la présentation, la rédaction, et l’orthographe seront évalués sur 4 points. ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 1 ) Le tableau ci-dessous est le tableau de valeurs d’une fonction f. x f (x) -3 2 -2 -1 -1 1 0 2 1 -2 2 -3 A l’aide de ce tableau de valeurs, répondre aux questions suivantes : a) Quelles sont les images par f des nombres 1 et - 3 ? b) Quelles sont les antécédents par f des nombres - 2 et 2 ? 2 ) La fonction g est définie par g (x) = x ² +

Démontrer que les droites (ED) et (AC) sont parallèles. Exercice 2 : La figure ci-contre n’est pas représentée en vraie grandeur. [AH] est la hauteur du triangle ABC. 1) Calculer la valeur exacte de AC, puis une valeur approchée à 0,01 près. 2) a) Démontrer que la valeur exacte de AH est 2 3 cm. On utilisera l’une des valeurs suivantes : sin 60° = 3 1 ; cos 60° = ; tan 60 ° = 3 2 2 b) Démontrer que l’aire du triangle ABC est 6 3 cm2. Rappels : Aire du triangle = base × hauteur Longueur × largeur ;

4 10 –5 2,1 – 3,6 Résultat final 9 21 –9 5,2 – 6,2 2. a) Les variables du programme sont X, Y et Z. b) La variable qui prend pour valeur le nombre de départ est X. c) Le résultat final est stocké dans la variable Z. 3. a) Saisie du programme à la calculatrice. b) Test du programme avec les valeurs de la question 1. b). c) En suivant le programme : X = x ; Y = x + 1 ; Y = (x + 1)2 ; Z = (x + 1)2 – x2. Donc Z = x2 + 2x + 1 – x2 = 2x + 1. a) Avec AlgoBox