Valeur propre

carrées. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres Valeur propre. f ∈ L(E) et λ ∈ K, E de dimension quelconque. → → − → → λ est valeur propre de f si et seulement si il existe − = 0 tel que f(− ) = λ− x x x si et seulement si f − λIdE n’est pas injectif → − si et seulement si Eλ = Ker(f − λId) = { 0 } f ∈ L(E) et λ ∈ K, E de dimension finie. λ est valeur propre de f si et seulement si f − λIdE ∈ G L (E) / si et seulement si det(f − λIdE ) = 0. A ∈ Mn (K) et λ ∈ K. λ est valeur propre

canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π 3 . 0 0 π   Exercice 3 - Avec un param`tre - L2/Math Sp´ e e Soit m un nombre r´el et f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique e est 1 0 1   −1 2 1 . A= 2−m m−2 m 1. Quelles sont les valeurs propres de f ? 2. Pour quelles valeurs de m l’endomorphisme est-il diagonalisable

GSITR NOV Valeurs propres et vecteurs propres des matrices L'objet "matrice 2x2"(rappel) 2 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice 2x2 3 Vecteur propre associé à une valeur propre 4 Valeurs propres de matrices particulières 5 Vecteurs propres associés à une matrice diagonale 6 Matrice de passage d’une matrice à 2 valeurs propres 7 Matrice inversible (rappel) 8 La matrice de passage est inversible 9 La puissance d’une matrice à deux valeurs propres 10 Objectif

de passage de la base (e1, e2, e3) à la base des trois vecteurs propres ⎜ − 5 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ est : 3 2⎤ ⎡6 ⎡1 0 0⎤ ⎢− 5 − 4 − 3⎥ et Ρ −1 AΡ = ⎢0 2 0⎥ Ρ=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎢0 0 3 ⎥ 1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ b) • La famille (e1, b(e1)=e2, b2(e1)=e3) est une base de E et b est cyclique. • Le polynôme caractéristiques de B est : -(x-1)(x+1)2 • ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ Ker (B+I3)=Vect ⎜ 0 ⎟ , sa dimension vaut 1 alors que l’ordre de multiplicité de la valeur propre –1 est 2. ⎜1⎟ ⎝ ⎠ La matrice B n’est pas diagonalisable. b n’est

. . , (1 + )n n n La question pr´liminaire indique que (1 + e → edk et ainsi E(D) = diag(ed1 , . . . , edp ) E(D) est diagonale ` coefficients diagonaux non nuls et est donc inversible : a E(D) ∈ GLp (K) A.2 Notons λ1 , . . . , λk les valeurs propres de D deux ` deux distinctes (chaque di est un λj ). D’apr`s a e le th´or`me d’interpolation de Lagrange, il existe un (unique) Q ∈ K[X] de degr´ ≤ k − 1 tel e e e que ∀j, Q(λj ) = edj . On a alors ∀j, Q(dj ) = edj et Q(D) = diag(Q(d1 ), . . .

- Chapitre 5 Valeurs propres et vecteurs propres Diagonalisation Table des mati`res e 1 Valeurs propres et vecteurs propres 1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 2 La diagonalisation d’une matrice 2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 CNS pour qu’une matrice

Comment trouver les valeurs propres, les vecteurs et espaces propres? Proc´dure pour trouver les valeurs propres, les vecteurs et espaces e propres 1 e Pour trouver les valeurs propres, trouver les solutions de l’´quation caract´ristique e det(A − λI ) = 0. Pour chaque valeur propre, r´soudre l’´quation e e (A − λI )x = 0 pour trouver l’espace propre correspondant. 2 3 Les vecteurs non nuls de chaque espace propre sont des vecteurs propres associ´s aux valeurs propres donn´es. e e Yasmine

d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Valeurs propres, vecteurs propres 1 1 1 Proposition 5 : E un K-ev, u ∈ (E) admettant un pomi πu , si F est un sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Diagonalisation Trigonalisation

d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres de uλ . L’endomorphisme e uλ est-il diagonalisable ? Solution : 1. L’application uλ est lin´aire, par lin´arit´ de l’int´gration. Comme e e e e 1 λ 0 P (t) dt X est un

est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A = 1 2 x 0 − 2 1 0 x = det 1−x 2 2 1−x = (1 − x)2 − 2 · 2 = x2 − 2x − 3. 2. Valeurs propres de A : ce sont les racines de pA (x) : ici √ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ± 1 + 3, donc nous avons λ1 = −1 et λ2 = 3. 3. Les valeurs propres comment sont-elles ? (a) λ1 , λ2 complexes