Valeur propre

par le cours que le terme dominant du polynôme caractéristique est (¡1)nXn ² Réciproquement si le coe¢cient est (¡1)nXn le calcul précédent donne une matrice compagnon qui admet Q comme polynôme caractéristique en partant de P = (¡1nQ a) Les valeurs propres sont les racines de  qui se calcule par un déterminant; or le déterminant est invariant par transposition: det(tCp ¡ In) = det (Cp ¡ ¸In) b) on a tCP = 0 BBBBB@ 0 1 0 : : : 0 0 0 1 : : : 0 ... . . . . . . ... 0 : : : 0 1 ¡a0 ¡a1 :

matrices semblables ont mêmes valeurs propres (Voir fiche n°7 diagonalisation) 6) Si on a , alors on a également : FICHE SYNTHESE : DIAGONALISATION DES MATRICES A- VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES Définitions : Soit A une matrice carrée d’ordre n, on appelle : * Valeur propre de A tout nombre tel qu’il existe une matrice colonne non nulle X vérifiant : * Vecteur propre de A toute matrice colonne

plan est un sous-espace de Rp, généré par les 2 premiers vecteurs propres u1 et u 2 du r r produit matriciel X'X (ou vecteurs propres v1 et v 2 du produit matriciel XX’) correspondant aux 2 plus grandes valeurs propres λ1 et λ2 de ce même produit. Ces deux vecteurs propres, lorsqu’ils sont unitaires, forment une base canonique du plan principal. Ces vecteurs définissant les axes factoriels, les valeurs propres représentent la valeur de la somme des carrés des projections des n points Miii dans Rp

(X 2 − 1)P − 2nXP. Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f . f est-il diagonalisable ? Correction [005654] Exercice 5 *** Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1 et B = X 4 − X. Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format

mahalanobis<-function(m1,m2,a,b,c,n){ Y<-matrix(rnorm(2*n,0,1),nrow=2) m<-c(m1,m2) sigma<-matrix(c(a,b,b,c),2,2) R<-chol(sigma) X<-R%*%Y+matrix(m,ncol=n,nrow=2) return(X) } Question 4 * a définit la dispersion des valeurs sur l’axe des abscisses. Plus on augmente sa valeur, plus elles sont dispersées. Les points verts sont obtenus pour a=2, les rouges pour a=5 et les noirs pour a=15. * c a le même effet sur l’axe des ordonnées. * b détermine la corrélation entre les deux directions

liée au visage , on construit alors notre base de données et on présente la technique permettant de classer ou de reconnaître une forme inconnu d’un locuteur parmi l’ensemble. Le module de reconnaissance faciale est basé sur le principe de « faces propres » est présenté sous trois (03) modules principaux : module détection vidéo et détection faciale, module traitement et module reconnaissance faciale. 1 Introduction Dans ce travail nous présentons la mise en œuvre d’un système d’identification

x2 , x3 ) ∈ R3 , on pose q(x) = x21 − 8x22 + 8x23 − 2x1 x2 − 6x2 x3 . 1. Montrer que q est une forme quadratique sur R3 . 2. D´eterminer le rang et la signature de la forme q par la m´ethode de Gauss. Exercice 2 1. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme

Caractéristique. 2. Sp(A) ou les valeurs propres de A. 3. Sous Espaces Vectoriels Propres de A ou les vecteurs propres. 4. A est diagonalisable ?!! Diagonalisé A. 5. Applications. 2 2.1 Polynome Caractéristique PA (X): PA (X) = det(A 1 1 1 2 1er exemple A = @ 1 2 1 A : 2 1 1 1 X 1 PA (X) = det(A XI) = 2 XI) 0 1 2 1 L1 L2 L3 2 1 X 1 X Comme astuce,c’est obtenir deux 0 dans une ligne ou dans une colonne, on cherche la ligne ou la colonne qui ont deux valeurs qui se ressemblent, Dans notre

s’écrit gλ,n(t) = pour t ( n − 1)! ≥0. 1.1.6. Valeurs propres et vecteurs propres Soit A une matrice carrée d’ordre n .Un vecteur non nul X de Cn est appelé vecteur propre ( à gauche )de A s’il existe un nombre complexe λ tel que : XA = λX ou X( A - λI ) = 0 , I étant la matrice unité d’ordre n . Le nombre λ associé à X est appelé valeur propre. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si il existe une base de vecteurs propres. Les valeurs propres de A sont les racines de l’équation caractéristique

inversibles de Mn (K) ; les ´l´ments de Mn (K) sont not´s M = (mi j ). ee e Pour une matrice A de Mn (K), on note t A la transpos´e de la matrice A, rg(A) son rang, e χA = det(A − X In ) son polynˆme caract´ristique et Sp(A) l’ensemble de ses valeurs propres. o e Si P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 est un polynˆme unitaire de Kn [X] on lui associe o 0 1   0 la matrice compagnon CP =  .  0 0   0 . . 0 −a0 0 . . 0 −a1   1 0 . 0 −a2   ∈ Mn (K). . . . . .   . 0 1 0 −an−2 . . 0 1