Vitesse limite

(m.s−2 ) t2 On trace ensuite la courbe x = f (t2 ). Si les frottements de l’air sont négligeables, on obtient une droite de pente g. On détermine ensuite la vitesse v de la bille soit par le tracé des tangentes sur une nouvelle courbe x = f (t), soit par le calcul à partir des données du tableau 1, en appliquant la définition de la vitesse instantanée : v= dx dt ∆x . ∆t T. 2 – Calculs avec les mesures sur le banc de chute libre. x (cm) t (s) v (m.s−1 ) v2 (m2 .s−2 ) On dresse alors le tableau

est fixe. 3 La corde vibrante Méthode de l'expérience : On approche la corde vibrante par la chaine des ressorts aligné Instant initial : la corde est immobile et on la frappe à l'aide d'un marteau. y 0=0 et dy/dt 0=v 0 La vitesse à t=0 : ∂y/∂t t=0, x =h pour axae ∂y/∂t t=0, x =0 ailleurs De plus on a : ∞ y x , t =ΣCn* sinWn*x/c)*cos Wn*tn) n=1 y x , t=0=0 ∀x Cn*sinWn*x/c*cosn=0 ∀x donc n=/2 On approche la corde vibrante par le système

La parabole est tournée « vers le bas », la fonction est dite concave. Fonctions de la forme f(x) = ax2 pour aégal à 0,1  ; 0,3 ; 1 et 3. Plus a est loin de zéro, plus la parabole est élancée. La valeur absolue du nombre a donne également la vitesse de variation de la fonction du second degré. Ainsi, plus a est proche de zéro, plus la parabole va paraître « aplatie », pour un repère donné. Pour l'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses, un autre nombre joue un rôle central, le discriminant

b Alors il existe un réel c entre a et b tel que Le nombre 1 b−a b a a f (x)dx = (b − a)f (c). f (x)dx est appelé valeur moyenne de f entre a et b. Interprétation cinématique : la vitesse moyenne d’un mobile La vitesse moyenne d’un mobile est la valeur moyenne de la vitesse, d’où : vitesse moyenne = 1 distance parcourue = durée du trajet t2 − t1 t2 v(t)dt t1 Démonstration On suppose la fonction f croissante. (On admet le résultat dans le cas général.) Premier cas : a < b.

une erreur de 10 années-lumière ! Quant au mathématicien, il se bornera à indiquer prudemment que plus on est proche de a, plus l’erreur est négligeable. Il faut donc s’attendre à ce que la définition rigoureuse de la dérivée utilise la notion de limite. Et c’est bien ce qui va arriver ! B Sur le tour de France . S G 100 m D 10 km P U A 400 m 10 km La courbe ci-dessus représente une étape du Tour de France. Même un non initié comprend qu’il y a une légère montée au départ suivie

LIMITES I. Notion de limites : Dans tout le paragraphe f est une fonction définie sur un ensemble noté Df . 1. Limite en a de f : (a ∈ D f ) Soit a un réel quelconque de Df . Le théorème suivant est admis : Si f est une fonction dérivable sur Df , alors pour tout réel a de Df : lim f (x ) = f (a ) . x →a Exemple : toutes fonctions polynôme ou rationnelle vérifient ce théorème ainsi : Soit f une fonction définie sur R par : f (x ) = 0, 5x 2 − 3x + 3 . Alors : lim f (x ) = f (2) = −1 . x →2

naturellement considérée comme une application qui généralise la notion d’application polynôme, tout en étant déterminée par une suite infinie de coefficients, (ap )0≤p : p=+∞ ap z p p=0 1≤p≤n ceci sans tenir compte des difficultés liées au passage à la limite et qui ont fait l’objet des précédents cours. En effet, la somme d’une série entière vérifie seulement : p=+∞ p=n ap z = lim Pn (z) p=0 n→+∞ p avec Pn (z) = p=0 ap z p Si on a pu obtenir autant de résultats justes sans se soucier

16 16 17 18 II limites II.1 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Limites des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.1 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.2 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.3 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.4 Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Calcul de limites dans les cas de formes

créés à chaque étape, on peut démontrer également, par un simple raisonnement, par récurrence, que la surface de la courbe engendrée après n constructions est égale à où A0 représente l'aire du triangle équilatéral initial. Ainsi, par passage à la limite, le flocon de von Koch délimite une surface finie.  Le triangle de Sierpinski Cet ensemble fractal utilise comme figure de départ un triangle équilatéral. En utilisant les milieux de ses côtés, on définit ainsi un nouveau triangle central que

solution. Conclusion L'équation f(x) = k admet une seule et unique solution sur [a , b]. Théorème des gendarmes : Théorème : Si au voisinage de a, les fonctions f, g et h vérifient : g(x)œf(x)œh(x) Et si g et h convergent vers la même limite l en a, alors : \lim_{x » a} f(x) = l Démonstration : Soit J, un intervalle centré en L. * Puisque : \lim_{x »a} g(x) = l il existe un réél A \in ]€ ; +¸[ tel que, pour tout x>A : g(x) appartient à J. * Puisque : \lim_{x