Vraisemblance

sont interrompus dès que le changement maximum des communalités est en dessous d'un seuil donné, ou lorsqu'un nombre maximal d'itérations est atteint. Les communalités initiales peuvent être calculées suivant différentes méthodes.  Maximum de vraisemblance : cette méthode a d'abord été proposée par Lawley (1940). La proposition de l'utilisation de l'algorithme de Newton-Raphson (méthode itérative) date de Jennrich (1969). Elle a ensuite été améliorée et généralisée par Jöreskog (1977). Cette méthode

Statistiques en Finance a pour double objectif de dépasser la méthode des Moindres Carrés Ordinaires pour l’estimation des modèles de régression linéaire simple en familiarisant l’étudiant avec d’autres approches et notamment celle du maximum de vraisemblance ; ainsi que de découvrir la régression logistique, largement utilisée en Finance dans le cadre du credit scoring par exemple. Ce cours permettra d’approfondir les techniques de modélisation statistique étudiées en Licence et d’acquérir des réflexes

maximum de vraisemblance. Comparaison avec les MCO La vraisemblance en économétrie est définie comme la probabilité d’observer un échantillon, étant donné les paramètres du processus ayant engendré les données. Si on observe un vecteur de variables aléatoires [pic] indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi [pic], alors la probabilité de l’échantillon est le produit des probabilités associées à chaque variable :[pic]. L’estimation par la méthode du maximum de vraisemblance cherche

Avanc´e e e Notes de cours Olivier Gaudoin 2 Table des mati`res e 1 Introduction 2 Concepts de l’inf´rence statistique e 2.1 Le mod`le statistique . . . . . . . . . . . . e 2.2 Mod`le param´trique ou non param´trique e e e 2.3 Fonction de vraisemblance . . . . . . . . . 2.4 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Exhaustivit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6 La famille exponentielle . . . . . . . . . . 7 9 9 10 11 13 14 18 23 23 23 27 28 29 30 32 33 37 37 37 41 41 44 44 44 46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Méthodes d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Résultats généraux pour un échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Notion de statistique exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Estimation par intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Cas général . . . . . . . . .

estimateur, estimation. 3.2. Fonction de vraisemblance. 3.3. Maximum de vraisemblance. IV. Propriétés des estimateurs 4.1. Estimateur sans biais 4.2. Estimateur convergent. 4.3. Estimateur efficace. 4.4. Minimisation de l’erreur quadratique moyenne. 4.5. Interprétation des propriétés. V. Tests d’hypothèses 5.1. Méthode des intervalles de confiance. 5.2. Méthode générale de construction des tests. 5.3. Le critère du rapport des vraisemblances (LR). 5.4. Le critère de Wald (W). 5

t−1 + Q L’erreur de pr´diction ν est d´finie comme : e e ′ νt = yt − zt at|t−1 (14) (15) (16) ′ νt iidN(0, σ 2 ft ) avec ft = zt Pt|t−1 zt + 1. La vraisemblance de l’erreur de pr´e diction s’´crit alors pour une observation : e 1 2πσ 2 ft −νt2 2σ 2 ft L(νt ) = exp (17) Le but est d’estimer σ 2 par maximum de vraisemblance. Lorsque a0|0 et P0|0 sont inconnus, a0|0 et P0|0 sont choisis arbitrairement, mais avec P0|0 grand. Dans ce cas, les NS premi`res observations ne sont pas

estimer les param`tres de chacune e e des lois. Estimation du param`tre de la loi exponentielle e Avec la m´thode du maximum de vraisemblance ou la m´thode des moments nous trouvons facilement que e e l’estimateur du param`tre θ est : e θ= 1 Xn Estimation du param`tre de la loi g´om´trique e e e Calculons l’estimateur du maximum de vraisemblance du param`tre p d’une loi g´om´trique . e e e Soient X1 , . . . , Xn des variables al´atoires i.i.d. telles que ∀i, Xi ∼ G(p) avec

Comparaison des estimateurs . . . . . . . . . . . 4.3.1 Décomposition biais-variance du risque . . 4.3.2 Comparaison des variances des estimateurs 4.3.3 Efficacité d’un estimateur . . . . . . . . . 5 Méthodes d’estimation ponctuelle 5.1 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . 5.1.1 Définition et caractéristiques . . . . . 5.1.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . 5.1.3 Propriétés à distance finie de l’EMV 5.1.4 Propriétés asymptotiques de l’EMV . 5.2 Méthode des moments . . . . . . . . . . . . 5.2

Estimation ponctuelle 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Définition d’un estimateur Principales qualités d’un estimateur Estimateur sans biais de variance minimale Précision intrinsèque d’un estimateur et inégalité de Cramer-Rao Méthode du maximum de vraisemblance (MV) Extension au cas de plusieurs paramètres 14 • Estimation par intervalle de confiance 14.1 Définition d’un intervalle de confiance 14.2 Exemples d’intervalles de confiance 14.3 Estimation et intervalle de confiance dans le cas d’une population