Xi

gradient de f (.) le vecteur des e e d´riv´es partielles : e e ∂f ∂f ∂f ∂f grad f = = ,..., ,..., . ∂x ∂x1 ∂xj ∂xp 1.5.2 Derivation d’une forme lin´aire e ∂a x = ∂x ∂ p i=1 Soit a un vecteur de Rp , alors ai xi ∂x1 ,..., ∂ p i=1 ai xi ∂xj ,..., ∂ p i=1 ai xi ∂xp = (a1 , . . . , aj , . . . , ap ) = a . 1.5.3 Derivation d’une application lin´aire e     Ax =     p j=1 Soit A une matrice de dimension q × p, alors a1j xj     p aij xj  . j=1  

SÉAC'H Gaëlle 2nd9 Histoire: L’ESSOR DES VILLES EN EUROPE AU XI-XIIIème SIÈCLE Pourquoi peut-on dire que le monde urbain renaît-il en Europe entre le XI-XIIIème siècle? Qu’est-ce qui caractérise ce développement des villes? Durant la période du Moyen-Âge centrale qui s’étend du XI-XIIIème siècles, l’Europe occidentale est marquée par sa production agricole croissante et une augmentation de sa population. Les villes comptent de plus en plus d’habitants et se développent de manière

= f1 F2 = F1 + f2 a) cas discret : Ci = {xi } b) cas continu : Ci = [ei−1 , ei [ et l’on pose xi = 1 (ei−1 + ei ) 2 5 6 CHAPTER 1. RAPPELS • d´finition(mode): Cj est la classe modale (mode) ssi ∀i ∈ {1, . . . , k} e fj ≥ fi • d´finition (moments): e a) moments d’ordre p centr´s en 0: e k Mp = i=1 k fi xp i fi xi i=1 x = M1 = ¯ moyenne de x a) moments d’ordre p centr´s en x: e ¯ k mp = i=1 k fi (xi − x)p ¯ fi (xi − x)2 ¯ i=1 V (x) = m2 = variance de x

moyenne : moyenne arithmétique des valeurs absolues des écarts à la moyenne. Écart absolu moyen par rapport à la médiane: moyenne arithmétique des valeurs absolues des écarts à la médiane. Statistique descriptive n eX = ∑n i =1 n i xi − X n e Me = ∑n i =1 i xi − Me n UVSQ, Natalia ZUGRAVU Chapitre 3. B : Indicateurs de dispersion Dispersion absolue suite… Intérêts de l’écart absolu moyen : Tout d’abord, l’utilisation de l’écart « absolu » est due au fait que la somme des différences (écarts)

contingence : … … … … … yj … yr Total n1. : ni. : nk. N Modalités de Y y1 Modalités de X x1 n11 : : xi : xk Total • ni1 : nk1 n.1 n1j … n1r : nij : : … nir : nkj … nkr n.j … n.r Analyse marginale Effectif marginal de X pour la modalité xi : ∑ n ij = n i. j=1 r Effectif marginal de Y pour la modalité yj : i =1 ∑ n ij = n. j k Fréquence marginale de la modalité xi : f i. = f. j = n i. N n .j N Fréquence marginale de la modalité yj : Distributions marginales

CORRIGE DE LA COMPOSITION SUJET Š EN EUROPE DU XI ème AU XIII ème SIECLE, UNE EGLISE DE PLUS EN PLUS PUISSANTE Introduction Du XI ème au XIII ème siècle, l’Europe connaît trois siècles de prospéri té et de stabilité (comparé à ce qui l’attend à partir du XIV ème siècle). Dans ce contexte – où les échanges commer ciaux connaissent un important essor, où les villes se développent et où les guerres sont rares – l’Eglise prend de plus en plus de place dans la vie des sociétés et

(X, Y ). e e e D´finition 4.2 De mˆme si X1 , . . . , Xm sont des v.a. discr`tes sur le mˆme e e e e (Ω, F, P ), on d´finit le vecteur al´atoire (X1 , . . . , Xm ) comme l’application : e e Ω → Rm , ω → X1 (ω), . . . , Xm (ω) La v.a. Xi est la i-`me marginale du vecteur. e Le couple al´atoire (X, Y ) permet de transporter la probabilit´ P de F sur e e 2 l’ensemble des parties de R . D´finition 4.3 La loi PX,Y du couple (X, Y ) est la probabilit´ d´finie sur l’ene e e semble

(X, Y ). e e e D´finition 4.2 De mˆme si X1 , . . . , Xm sont des v.a. discr`tes sur le mˆme e e e e (Ω, F, P ), on d´finit le vecteur al´atoire (X1 , . . . , Xm ) comme l’application : e e Ω → Rm , ω → X1 (ω), . . . , Xm (ω) La v.a. Xi est la i-`me marginale du vecteur. e Le couple al´atoire (X, Y ) permet de transporter la probabilit´ P de F sur e e 2 l’ensemble des parties de R . D´finition 4.3 La loi PX,Y du couple (X, Y ) est la probabilit´ d´finie sur l’ene e e semble

2 et on note produit scalaire sur E et la norme associée. ( ) un Si x1 , x 2 , ..., x p sont p vecteurs de E, on appelle matrice de GRAM de x1 , x 2 , ..., x p , notée G ( x1 , x 2 , ..., x p ) , la matrice de M p ( ) de terme général ( xi  ( x1 x1 ) ( x1 x 2 ) ... x1 x p   ( x 2 x1 ) . ... .  . G ( x1 , x 2 , ..., x p ) =  . . ... .   .   ( x p x1 ) . ... x p x p  on notera Γ( x1 , x 2 , ..., x p ) son déterminant : Γ( x1 , x 2 , ..., x p ) ( )  x j pour 1 ≤ i

n a x i x ja ij 3 ij=ji n a ij  a ia j (1δij (i j - ji)xi) a x i x ja ij ii =0 ij=ji ii=0 δij  ji ii =0 i 1 j1 4 n n b   xi x jbij b ij  i 1 j 1 bi  b j 2 ai et bi sont les paramètres des corps purs, i, calculés à l’aide des équations (5) et (6), respectivement. Remarque : xi  Xi Mi n (X i 1 i Mi) Avec : xi, et Xi, sont les fractions molaire et massique du constituant i, Mi, la masse molaire