FONCTION LINEAIRE - FONCTION AFFINE – PROPORTIONNALITE I. fonction linéaire / fonction affine 1. définition Rappel de notations: Les fonctions considérées transforment un nombre x en un nombre y. x est appelé l'antécédent de y, y ou f(x) est l'image de x. on note f: x → f(x). A toute fonction, est associée sa représentation graphique, ensemble des points de coordonnées(x;y), dont une équation est y= f  x. x 1 1

2 4

3 9

f x

Comme pour les autres « êtres » mathématiques, on peut classer les fonctions. Différents aspects peuvent être pris en compte, ici, on s'intéresse à leur effet sur les opérations. Ainsi il y a des fonctions qui transforment : • une somme en somme: f(x+x') = f(x) + f(x') • un produit en produit: f(xx') = f(x).f(x') • une somme en produit: f(x+x') = f(x).f(x') • un produit en somme: f(xx') = f(x) + f(x') Les fonctions linéaires sont celles qui transforment une somme en somme, c'est à dire qui vérifient: f(x + x') = f(x) + f(x'), propriété appelée: linéarité additive. Conséquences: • f(0) = 0 • f(nx) = n. f(x) pour tout entier n et pour tout réel x, propriété dite de linéarité multiplicative. • f(n) = n. f(1) ( ce qui justifie la méthode du passage par l'unité) • puis par extension: f(x) = x.f(1) • il existe un réel non nul a, tel que: pour tout x, f(x) = ax, a est appelé coefficient de linéarité. Graphiquement: la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite, dite linéaire, telle que: • elle passe par l'origine du repère • elle a pour équation: y=ax • elle a pour coefficient directeur a. Pour définir une fonction linéaire ou pour la représenter graphiquement, il suffit de connaître: • un réel et son image ou un point défini par ses coordonnées • son coefficient de linéarité ou coefficient directeur de la droite. Exemples: déterminer et représenter la fonction linéaire définie par : 1. f(2) = 3 2. f(-3) = 4 3. a=5

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Propriétés: • si a est positif, la fonction est