Activit´e de math´ematiques

Composition de fonctions et encadrement

On consid`ere les fonctions de r´ef´erence suivantes :
– fonction affine de param`etres a et b : f (x) = ax + b
1
– fonction inverse : f (x) = x – fonction carr´e : f (x) = x2

Encadrement et sens de variation
1. Rappeler les ensembles de d´efinition ainsi que les tableaux de variations des fonctions affines, carr´e et inverse.
2. On consid`ere un nombre r´eel x tel que 1 x 2.
(a) D´eterminer le tableau de variations de la fonction affine de param`etres a = −2 et b = 3 sur l’intervalle [1; 2]. En d´eduire un encadrement de −2x + 3 pour 1 x 2.
(b) D´eterminer le tableau de variations de la fonction carr´e sur l’intervalle [1; 2].
En d´eduire un encadrement de x2 pour 1 x 2.
(c) D´eterminer le tableau de variations de la fonction inverse sur l’intervalle [1; 2].
1
En d´eduire un encadrement de pour 1 x 2. x 3. On consid`ere un nombre r´eel x tel que −2 x 3.
(a) D´eterminer le tableau de variations de la fonction carr´e sur l’intervalle [−2; 3].
En d´eduire un encadrement de x2 pour −2 x 3.
(b) D´eterminer le tableau de variations de la fonction inverse sur l’intervalle [−2; 3].
1
En d´eduire un encadrement de pour −2 x 3. x Encadrement et composition
1. On consid`ere les fonctions f (x) = −2x + 1 et g(x) =

1
.
x

(a) D´eterminer l’´ecriture litt´erale de g ◦ f (x).
(b) D´eterminer le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [2; 3].
En d´eduire un encadrement de f (x) pour 2 x 3.
(c) D´eterminer le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle [−3; 5].
En d´eduire un encadrement de g(x) pour −3 x 5.
1
(d) En d´eduire un encadrement de pour 2 x 3.
−2x + 1
2. (a) D´ecomposer la fonction h(x) = 2x2 −3 sous la forme g◦f avec f et g des fonctions de r´ef´erence.
(b) En d´eduire un encadrement de 2x2 − 3 pour −3

x

−2.

3. D´eterminer un encadrement de h(x) pour x ∈ I dans chacun des cas suivants :
(a) h(x) = −3x2 + 1 et I = [2; 7].
1
(b) h(x) = et I = [−5; −2].
3 − 2x
(c) h(x)