D.S. DE MATHEMATIQUES
27 - 05 - 2014

1° S Rouge

EXERCICE 1 :

( 5 pts)

1) Montrer que la suite définie sur ℕ par v n=8 n8 n1 est géométrique.
2) Soit t n  la suite arithmétique, définie sur ℕ , de raison 5 et de premier terme t 0 =– 8 .
a) Calculer t 10 et t 20 .
b) Calculer t 10 + t 11 + .......... + t 20 .
3) Soit w n  la suite géométrique, définie sur ℕ * , de raison 3 et de premier terme w1=– 2 .
a) Calculer w5 .
b) Calculer w5 + w6 + ......... + w16 .
EXERCICE 2 :

( 4,5 pts)

Une association caritative a constaté que, chaque année, 20 % des donateurs de l'année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don.
En 2012 l'association comptait 1000 donateurs.
On note u n le nombre de donateurs l'année 2012 + n, ainsi on a u 0=1000 .
1) Calculer u1 et u 2 .
2) Montrer que pour tout entier naturel n, u n1=0,8 u n 300
3) Soit la suite v définie pour tout n ∈ ℕ par v n=u n – 1500
a) Démontrer que la suite v est géométrique.
b) Pour tout entier naturel n, exprimer v n en fonction de n.
4) Montrer que pour tout entier naturel n, u n=– 500×0,8n 1500
5) Etudier le sens de variation de u et interpréter ce résultat.
6) Question bonus (1 pt)

Entrée :

Demander une valeur de p

On donne l'algorithme suivant :

Initialisation :

u prend la valeur 1000 n prend la valeur 0

Traitement :

Tant que u < p affecter la valeur 0,8×u300 à u affecter la valeur n + 1 à n
Fin tant que

Sortie :

Afficher n et u

a) En le faisant tourner à la main et en prenant p = 1290, qu'affiche cet algorithme? On pourra s'aider du tableau suivant : n 0 u 1000

b) Expliquer à quoi sert cet algorithme pour un p fixé.
TOURNEZ S.V.P.

EXERCICE 3 :

En remarquant que

( 2 pts)

( ) et sin ( 1112π ) .

11 π π 3 π
11π
= +
, donner les valeurs exactes de cos
12 6 4
12

EXERCICE 4 :
On donne sin( x)= √

( 3,5

pts)

π
2+ √ 2 et x ∈ 2 ; π .
2

[

]

1) Calculer cos(x).
2) Montrer que cos(2 x )=

−√ 2
2

et sin(2x)=

−√ 2
.
2

3) En