Correction épreuve commune.
Exercice 1 :
1
1
;J
;0
4
3

( ) ( )

1) a. B ( 0 ; 0 ) ; C ( 1;0 ) ; A ( 0 ;1 ) ; I 0 ;

3
AK= ⃗
AC soit
b. ⃗
5

{

3
3
( 1−0 ) xK= 5
5
soit
3
2 y K −1= ( 0−1 ) yK= 5
5

{

x K −0=

2)
a. M ( x ; y ) ∈ ( AJ ) ⇔ ⃗
AM

1
1
x et ⃗
AJ 3 sont colinéaires ⇔−x− ( y−1 ) =0 ⇔3 x+ y−1=0 . y−1 3
−1

( )

()

3
BK 5
b. M ( x ; y ) ∈ ( BK ) ⇔⃗
BM x et ⃗
2
y
5

()

()

sont colinéaires ⇔

2
3
x− y=0⇔ 2 x−3 y=0 .
5
5

c. E est sur les deux droites donc les coordonnées de E sont les solutions du système 2 x−3 y=0
3 x + y−1=0
3
x=
11 x=3
2 x−3 y=0 ⇔ 2 x−3 y=0 ⇔
11 .
2 ⇔ y= x
3 x + y−1=0
9 x+3 y=3
2
y=
3
11

{

{

{

{

{

u et ⃗ v sont colinéaires sinon ⃗ u et ⃗ v ne sont pas colinéaires.
3) a) Si ad −bc=0 alors ⃗
b) A l'affichage : "les vecteurs sont colinéaires."
3
8
−1
−
CE 11
CE 11
Justification : ⃗ soit ⃗
2
2
11
11

( ) ( )

−1
8 1 2
2
2
⃗
et CI 1 : − × − ×( −1 ) =− + =0
11 4 11
11 11
4

()

E∈ ( BK )
c) On en déduit que E∈ ( IC ) ⇔ les droites ( BK ) , ( IC ) , ( AJ ) sont concourantes en E.
E∈ ( AJ )

{

Exercice 2 :
Partie A pour x>0 : f ( x ) =4 x +

1)

600
600 4 x 2−600 d'où : f ' ( x ) =4− 2 =
.
x x x2

2)
•

étude du signe de 4 x 2−600 sur ] 0 ;+∞ [ :
4 x 2−600=4 ( x 2−150 )=0 pour x= √150=5 √ 6 ou x=−5 √ 6 . sur ] 0 ;5 √ 6 [ 4 x 2−600<0 et sur ] 5 √ 6;+∞ [ , 4 x 2−600>0 .

•

étude du signe de x 2 sur [ 0 ;+∞ [ : x 2>0

x

5 √6

0

signe de f ' ( x )

-

+∞

0

+

variations de f
40 √ 6

f ( 5 √6 )=4×5 √6+

600
120 √ 6
=20 √ 6+
=20 √ 6+20 √6=40 √ 6 .
6
5 √6
Partie B

1) pour x>0 :
Aire des deux parcelles = x 2+xy=300= x ( x+ y ) d'où

300
300
=x+ y et donc y=
−x . x x

(

2) pour x>0 : longueur du grillage =4 x+2 ( x+ y ) =4 x+2 x+
3) La longueur va être minimale pour x=5 √ 6 soit y=

300
600
− x =4 x+
.
x x )

300
−5 √ 6=10 √ 6−5 √ 6=5 √6 .
5 √6

4) Il devra donc acheter 40 √ 6 mètres soit environ 97,98 mètres de grillage .

Exercice 3 :
1)

Tirage dans B2
Tirage dans B1

2) D'après l'arbre :
1
3
1
×
=
soit à résoudre sur ℕ n+1 n+3 120