MPSI 01

Théorèmes généraux

2015-2016

Exercice 1 : Mobile sur un rail circulaire
Un mobile P assimilé à un point matériel de masse m, se déplace sur un rail situé dans un plan vertical.
Le rail comporte une partie IA constituée d'un demi cercle de centre C et de diamètre IA = 2ℓ . On néglige tout frottement et la liaison entre le mobile et le rail est unilatérale c'est-à-dire que la réaction R exercée par le rail sur le mobile ne peut changer de sens. La position du point P lorsque sa trajectoire est à l'intérieur du demi cercle est repérée par l'angle θ = (CI ,OP )

On désigne par g la norme de l'accélération de la pesanteur. A l'instant t = 0, le mobile est libéré en H sans vitesse initiale à la hauteur h au-dessus de I, point le plus bas du demi cercle.
1— Exprimer en fonction de ℓ , h, g et θ , la norme v p de la vitesse du point P lorsqu'il est à l'intérieur du demi cercle. 2 — Donner l'expression de la norme de la réaction R exercée par le rail sur le point P.
3 — De quelle hauteur minimale hm doit-on lâcher le mobile sans vitesse initiale en H pour qu'il arrive jusqu'en A, point le plus haut du demi cercle ?
4 — Donner dans ces conditions (h = hm), l'expression de la réaction RI en I , point le plus bas de la trajectoire.
5 — Exprimer la norme v A de la vitesse du mobile lorsqu'il arrive au point A après avoir été lâché sans vitesse initiale depuis une hauteur h = hm.
6 — On désigne par xc l'abscisse du centre du demi cercle. Calculer pour h = hm, l'abscisse x0 du point P lorsque la trajectoire du mobile coupe l'axe Ox tangent au demi cercle en I après être passée par le point A .

Exercice 2 : Etude d’un skieur :
Etude d’un skieur :

On étudie le mouvement d'un skieur descendant une piste selon la ligne de plus grande pente, faisant l'angle α avec l'horizontale.
L'air exerce une force de frottement supposée de la forme F = - λ v , où λ est un coefficient constant positif et v la vitesse du skieur.
On note T et N les composantes tangentielle et normale de