c.jossin
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Algèbre de BOOLE

SOMMAIRE :

1. Présentation, historique
2. Propriétés;
2.1. Identités remarquables;
2.2. Théorèmes de DE MORGAN.

3. Représentations graphiques :
3.1. Logigrammes;
3.2. Schémas à contacts;
3.3. Chronogrammes.

4. Simplification des expressions booléennes :
4.1. Méthode algébrique;
4.2. Méthode des tableaux de Karnaugh.

Outils informatiques :
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Sites « Web » :
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Bibliographie :
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AUTOM. / Algèbre de BOOLE

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1. PRESENTATION
L'algèbre de BOOLE est la logique utilisée par les ordinateurs. En automatique, que l'on soit en « combinatoire » ou en séquentiel, on prend en compte, on traite, on donne des ordres sous forme binaire (0 ou 1).
Les variables qui permettent de traiter ces informations peuvent s'organiser sous forme de fonctions.
Fonctions de base : OUI, NON, ET, OU.
Fonctions spécialisées : NON-OU (NOR), NON-ET (NAND), OU « exclusif » (XOR)

2. PROPRIETES
Somme : fonction OU

Produit : fonction ET

00=0
01=1
10=1
11=1

0.0=0
0.1=0
1.0=0
1.1=1

a1=1 a0=a aa=a a a =1

a.1=1
a.0=0
a.a=a
a.  a =0

Commutativité :

a.b = b.a a+b = b+a

Distributivité :

a.(b+c) = a.b + a.c a+(b.c) = (a+b) . (a+c)

Idempotence :

a+a = a

Aborbtion :

aa.b=a

Identités remarquables :

Associativité :

Négation : fonction NON
1=1

0 =0
a =a
a.(b.c) = (a.b).c a+(b+c) = (a+b)+c

(a+b).(c+d) = a.c + a.d + b.c + b.d

a a =a

aa.b=a
a.ba.c=a.bc  aa  . b=ab

a. b b.c=ab . b c =a. b b.ca.c

Théorèmes de DE MORGAN :
1er Théorème :

Le complément d'une somme logique est équivalent au produit logique des termes de ce produit, eux-mêmes complémentés.
ab= a . b

2ème Théorème :

Le complément d'un produit logique est équivalent à la somme logique des termes de cette produit, eux-mêmes complémentés.
a.b=a b

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